Question

如图，两个同心圆的圆心为O，两圆的半径分别为5，3，其中A，B两点在大圆上，C，D在小圆上，且∠AOB=∠COD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若∠AOB=120°，求线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积；
（3）若AB与小圆相切，分别求AB，CD的长．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）；（3）8，．

试题分析：（1）如要证明AC=BD，则通过可证明△AOC≌△BOD即可；
（2）由题意可知线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积，即为扇形AOB的面积，即为△ACO绕O旋转120度后，AC扫过的面积；
（3）切点为E，连接OE，首先利用勾股定理可求出BE的长，进而求出AB的长，再证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质即可求出CD的长．
(1)证明：在△AOC和△BOD中，
∵∠AOB=∠COD
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OB，OC=OD
∴△AOC≌△BOD，
∴ AC=BD．
（2）封闭图形的面积=×16=．
（3）解：设切点为E，连接OE，

∵AB与小圆相切，
∴OE⊥AB，AB=2BE
由勾股定理得，BE=4，
∴AB=8．
∵∠AOB=∠COD，，
∴△AOC∽△BOD，
∴
∴CD=．