Question

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

分析：（1）这两个三角形中，已知的条件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外两组对应角相等即可得出两三角形相似，因为∠DEA+∠FEB=180-90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就构成了两三角形相似的条件；
（2）可用x表示出BE的长，然后根据（1）中三角形ADE和FEB相似可得出关于AD，AE，BE，BF的比例关系式，然后就能得出一个关于x，y的函数关系式．根据函数的性质即可得出y的最大值及相应的x的值．

解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，
∴∠DAE=∠FBE=90°．
∴∠ADE+∠DEA=90°．
又∵EF⊥DE，∴∠AED+∠FEB=90°，
∴∠ADE=∠FEB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得：

y

x

=

4-x

4

，
得：y=

1

4

（-x²+4x）=

1

4

[-（x-2）²+4]=-

1

4

（x-2）²+1，
所以当x=2时，y有最大值，y的最大值为1．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质以及二次函数的应用等知识点．