Question

23、如图所示，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD与CE交于点F．请你根据图形判断AF与BE的位置具有什么关系？并给予证明．

Answer 1

分析：首先根据正方形的性质证得∠ABE=∠FCD；然后再通过△ADF≌△CDF（SAS）求得∠FAD=∠FCD，所以∠ABE=∠FAD；最后在△ABE中求得∠ABE+∠AEB=90°；最后在△AGE中根据三角形的内角和是180°求得∠AGE=90°，即AF⊥BE．

解答：AF⊥BE．
证明：∵四边形ABCD是正方形，E是AD边上的中点，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠ECB，
∴∠ABE=∠FCD；
在△ADF和△CDF中，
AD=CD（正方形的边长都相等），
DF=FD（公共边），
∠ADF=∠CDF（正方形的对角线平分对角），
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠FAD=∠FCD（对应角相等）；
∴∠ABE=∠FAD；
又∵在△ABE中，∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴在△AGE中，∠AGE=90°（三角形的内角和是180°），
∴AF⊥BE．

点评：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质．解答本题要充分利用正方形的特殊性质：①四边相等，两两垂直； ②四个内角相等，都是90度； ③对角线相等，相互垂直，且平分一组对角．