题目内容
如图,已知四边形ABCD是平行四边形,BC=2AB.A,B两点的坐标分别是(-1,0),(0,2),C,D两点在反比例函数y=
(k<0)的图象上,则k等于______.
k |
x |
设点C坐标为(a,
),(a<0),点D的坐标为(x,y),
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC与BD的中点坐标相同,
∴(
,
)=(
,
),
则x=a-1,y=
,
代入y=
,可得:k=2a-2a2 ①;
在Rt△AOB中,AB=
=
,
∴BC=2AB=2
,
故BC2=(0-a)2+(
-2)2=(2
)2,
整理得:a4+k2-4ka=16a2,
将①k=2a-2a2,代入后化简可得:a2=4,
∵a<0,
∴a=-2,
∴k=-4-8=-12.
故答案为:-12.
方法二:
因为ABCD是平行四边形,所以点C、D是点A、B分别向左平移a,向上平移b得到的.
故设点C坐标是(-a,2+b),点D坐标是(-1-a,b),(a>0,b>0)
根据K的几何意义,|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|,
整理得2a+ab=b+ab,
解得b=2a.
过点D作x轴垂线,交x轴于H点,在直角三角形ADH中,
由已知易得AD=2
,AH=a,DH=b=2a.
AD2=AH2+DH2,即20=a2+4a2,
得a=2.
所以D坐标是(-3,4)
所以|K|=12,由函数图象在第二象限,
所以k=-12.
k |
a |
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AC与BD的中点坐标相同,
∴(
a-1 |
2 |
k |
2a |
x |
2 |
y+2 |
2 |
则x=a-1,y=
k-2a |
a |
代入y=
k |
x |
在Rt△AOB中,AB=
OA2+OB2 |
5 |
∴BC=2AB=2
5 |
故BC2=(0-a)2+(
k |
a |
5 |
整理得:a4+k2-4ka=16a2,
将①k=2a-2a2,代入后化简可得:a2=4,
∵a<0,
∴a=-2,
∴k=-4-8=-12.
故答案为:-12.
方法二:
因为ABCD是平行四边形,所以点C、D是点A、B分别向左平移a,向上平移b得到的.
故设点C坐标是(-a,2+b),点D坐标是(-1-a,b),(a>0,b>0)
根据K的几何意义,|-a|×|2+b|=|-1-a|×|b|,
整理得2a+ab=b+ab,
解得b=2a.
过点D作x轴垂线,交x轴于H点,在直角三角形ADH中,
由已知易得AD=2
5 |
AD2=AH2+DH2,即20=a2+4a2,
得a=2.
所以D坐标是(-3,4)
所以|K|=12,由函数图象在第二象限,
所以k=-12.
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