题目内容
【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,下列结论:①∠AED=∠CED;②AB=HF,③BH=HF;④BC﹣CF=2HE;⑤OE=OD;其中正确结论的序号是_____________
【答案】①③⑤
【解析】分析:①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°,然后利用求出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根据平角等于180°求出
∠CED=67.5°,从而判断出①正确;
②判断出△ABH不是等边三角形,从而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到②错误.
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确;
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-(CD-DF)=2HE,判断出④正确;
⑤求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断出⑤正确;
解析:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB,∵AD=AB,∴AE=AD,
在△ABE和△AHD中,
{ | ∠BAE=∠DAE ∠ABE=∠AHD=90° AE=AD |
∴△ABE≌△AHD(AAS),
∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=
∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正确;
∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故②错误;
∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,
在△BEH和△HDF中,
{ | ∠EBH=∠OHD=22.5° BE=DH ∠AEB=∠HDF=45° |
∴△BEH≌△HDF(ASA),∴BH=HF,HE=DF,故③正确;
∵HE=AE-AH=BC-CD,∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故④正确;
∵AB=AH,∵∠AHB=∠OHE=∠AHB(对顶角相等),
∴∠OHE=67.5°=∠AED,∴OE=OH,∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,∴∠DHO=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故⑤正确;
综上所述,结论正确的是①③④⑤共4个.
故答案为①③④⑤.