题目内容

【题目】如图,在矩形ABCD中,AD=AB,BAD的平分线交BC于点E,DHAE于点H,连接BH并延长交CD于点F,连接DEBF于点O,下列结论:①∠AED=CED;AB=HF,BH=HF;BC﹣CF=2HE;OE=OD;其中正确结论的序号是_____________

【答案】①③⑤

【解析】分析:①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°,然后利用求出△ABE是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得AE=AB,从而得到AE=AD,然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等,根据全等三角形对应边相等可得BE=DH,再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°,根据平角等于180°求出

∠CED=67.5°,从而判断出①正确;

②判断出△ABH不是等边三角形,从而得到AB≠BH,即AB≠HF,得到②错误.

③求出∠EBH=∠OHD=22.5°,∠AEB=∠HDF=45°,然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等,根据全等三角形对应边相等可得BH=HF,判断出③正确;

④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE,然后根据HE=AE-AH=BC-CD,BC-CF=BC-(CD-DF)=2HE,判断出④正确;

⑤求出∠AHB=67.5°,∠DHO=∠ODH=22.5°,然后根据等角对等边可得OE=OD=OH,判断出⑤正确;

解析:∵在矩形ABCD中,AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴△ABE是等腰直角三角形,∴AE=AB,∵AD=AB,∴AE=AD,

在△ABE和△AHD中,

{

∠BAE=∠DAE

∠ABE=∠AHD=90°

AE=AD

∴△ABE≌△AHD(AAS),

∴BE=DH,∴AB=BE=AH=HD,∴∠ADE=∠AED=

∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,∴∠AED=∠CED,故①正确;

∵AB=AH,∠BAE=45°,∴△ABH不是等边三角形,∴AB≠BH,∴即AB≠HF,故②错误;

∵∠EBH=90°-67.5°=22.5°,∴∠EBH=∠OHD,

在△BEH和△HDF中,

{

∠EBH=∠OHD=22.5°

BE=DH

∠AEB=∠HDF=45°

∴△BEH≌△HDF(ASA),∴BH=HF,HE=DF,故正确;

∵HE=AE-AH=BC-CD,∴BC-CF=BC-(CD-DF)=BC-(CD-HE)=(BC-CD)+HE=HE+HE=2HE.故正确;

∵AB=AH,∵∠AHB=∠OHE=∠AHB(对顶角相等),

∴∠OHE=67.5°=∠AED,∴OE=OH,∵∠DHO=90°-67.5°=22.5°,∠ODH=67.5°-45°=22.5°,∴∠DHO=∠ODH,∴OH=OD,∴OE=OD=OH,故⑤正确;

综上所述,结论正确的是①③④⑤共4个.

故答案为①③④⑤.

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