题目内容
【题目】如图,边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C点).将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的有_____________(写出所有正确结论的序号).
①∠N\AF=45°;②当P为 BC中点时,AE为线段NP的中垂线;
③四边形AMCB的面积最大值为10; ④线段AM的最小值为2;
⑤当△ABP≌△ADN时,BP=4-4.
【答案】①③⑤
【解析】①正确,只要证明∠APM=90°即可解决问题;③正确,设PB=x,构建二次函数,利用二次函数性质解决问题即可;②错误,设ND=NE=y,在RT△PCN利用勾股定理求出y即可解决问题;④错误,作MG⊥AB于G,因为AM2=MG2+AG2=16+AG2,所以AG最小时AM最小,构建二次函数,求得AG的最小值为3,AM的最小值为5;⑤正确,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,列出方程即可解决问题.
∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∵∠CPN+∠NPB=180°,
∴2∠NPM+2∠APE=180°,∴∠MPN+∠APE=90°,∴∠APM=90°,
∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPM=∠PAB,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,
∴△CMP∽△BPA.故①正确,
设PB=x,则CP=4-x,∵△CMP∽△BPA,∴,∴CM=
x(4-x),
∴S四边形AMCB= [4+
x(4-x)]×4=-
(x-2)2+10,
∴x=2时,四边形AMCB面积最大值为10,故③正确,
当PB=PC=PE=2时,设ND=NE=y, 在RT△PCN中,(y+2)2=(4-y)2+22,
解得y=,∴NE≠EP,故②错误,
作MG⊥AB于G,∵AM2=MG2+AG2=16+AG2,∴AG最小时AM最小,
∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x(4-x)=
(x-1)2+3,
∴x=1时,AG最小值=3,∴AM的最小值==5,故④错误.
∵△ABP≌△ADN时,∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,
∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,∴∠BPK=∠BKP=45°,
∴PB=BK=z,AK=PK=z, ∴z+
z=4,∴z=4
-4,∴PB=4
-4,故⑤正确.
