题目内容

【题目】如图,边长为4的正方形ABCD中,PBC边上一动点(不含BC点).将ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PECD于点N,连接MANA.则以下结论中正确的有_____________(写出所有正确结论的序号).

①∠N\AF=45°;②当P BC中点时,AE为线段NP的中垂线;

③四边形AMCB的面积最大值为10; ④线段AM的最小值为2

⑤当ABP≌△ADN时,BP=4-4.

【答案】①③⑤

【解析】①正确,只要证明∠APM=90°即可解决问题;正确,设PB=x,构建二次函数,利用二次函数性质解决问题即可;②错误,设ND=NE=y,在RT△PCN利用勾股定理求出y即可解决问题;④错误,作MG⊥ABG,因为AM2=MG2+AG2=16+AG2,所以AG最小时AM最小,构建二次函数,求得AG的最小值为3,AM的最小值为5;⑤正确,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,列出方程即可解决问题.

∵∠APB=∠APE,∠MPC=∠MPN,∵∠CPN+∠NPB=180°,

∴2∠NPM+2∠APE=180°,∴∠MPN+∠APE=90°,∴∠APM=90°,

∵∠CPM+∠APB=90°,∠APB+∠PAB=90°,∴∠CPM=∠PAB,

∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB=DC=AD=4,∠C=∠B=90°,

∴△CMP∽△BPA.故①正确,

PB=x,则CP=4-x,∵△CMP∽△BPA,∴,∴CM=x(4-x),

∴S四边形AMCB= [4+x(4-x)]×4=-(x-2)2+10,

∴x=2时,四边形AMCB面积最大值为10,故③正确,

PB=PC=PE=2时,设ND=NE=y, RT△PCN中,(y+2)2=(4-y)2+22

解得y=,∴NE≠EP,故②错误,

MG⊥ABG,∵AM2=MG2+AG2=16+AG2,∴AG最小时AM最小,

∵AG=AB-BG=AB-CM=4-x(4-x)=(x-1)2+3,

∴x=1时,AG最小值=3,∴AM的最小值==5,故④错误.

∵△ABP≌△ADN时,∴∠PAB=∠DAN=22.5°,在AB上取一点K使得AK=PK,设PB=z,

∴∠KPA=∠KAP=22.5°∵∠PKB=∠KPA+∠KAP=45°,∴∠BPK=∠BKP=45°,

∴PB=BK=z,AK=PK=z, ∴z+z=4,∴z=4-4,∴PB=4-4,故⑤正确.

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