题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,有二次函数,顶点为,与轴交于两点(左侧),易证点关于直线对称,且在直线上.过点作直线交直线点,分别为直线和直线上的两个动点,连接,则的最小值为________

【答案】8

【解析】

=0,则可求出抛物线和x轴的交点坐标,即AB的坐标,再把抛物线解析式配方可求出顶点H的坐标,进而求出过AH点的直线解析式,

因为过点B作直线BK∥AH交直线lK点,所以直线BK的斜率和直线AH的相等,又过B,所以可求出直线BK的解析式,再把直线l的解析式和BK的解析式联立,即可求出K的坐标,根据点H、B关于直线AK对称,得出HN+MN的最小值是MB,过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AHE,得到BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,由勾股定理得QB=8,即可得出答案.

=0,

解得x1=-3,x2=1,

∵B点在A点右侧,

∴A点坐标为(-3,0),B点坐标为(1,0),

=-(x+1)2+2

∴顶点H的坐标是(-1,2),

设直线AH的解析式为y=kx+b,把AH点的坐标代入求出k=,b=3

∵过点B作直线BK∥AH,

∴直线BK的解析式为y=mx+n中的m=

又因为B在直线BK上,代入求出n=-

∴直线BK的解析式为:y=x-

联立

解得:

∴交点K的坐标是(3,2),

BK=4,

∵点H、B关于直线AK对称,K(3,2),

∴HN+MN的最小值是MMB,KD=KE=2

KKD⊥x轴于D,作点K关于直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AHE,KD=KE=2

QM=MK,QE=EK=2,AE⊥QK,

∴根据两点之间线段最短得出BM+MK的最小值是BQ,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值,

∵BK∥AH,

∴∠BKQ=∠HEQ=90°,

由勾股定理得QB==8,

∴HN+NM+MK的最小值为8.

答:HN+NM+MK和的最小值是8.

故答案为:8.

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