Question

【题目】如图①，若直线l︰y=－2x+4交x轴于点A、交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD．过点A，B，D的抛物线h︰y=ax2+bx+4．

（1）求抛物线h的表达式；

（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M、交抛物线h于点N，求线段MN的最大值；

（3）如图②，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限的上一动点（不与点D、B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）、、

【解析】

（1）先由直线l的解析式得到A,B两点的坐标，再根据旋转得到D点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式即可.

（2）设出点N的坐标，纵坐标用横坐标表示出来，同时也可以表示出M的坐标，而MN的长度就是N点与M点的纵坐标之差，作差之后发现是一个关于N点横坐标的二次函数，利用二次函数求最值即可.

（3）分别对顶点F和顶点G在y轴上分情况讨论，求出点P的坐标即可

（1）∵直线l：交x轴于点A、交y轴于点B，

∴，.

∵将绕点O逆时针旋转得到，

∴，.

设过点A、B、D的抛物线h的解析式为：.

将B点坐标代入可得：，

∴，故抛物线h的解析式为；

（2）∵，，

∴直线CD的解析式为.

设N点坐标为，则M点坐标为.

∴，

∴当时，MN最大，最大值为；

（3）若G点在 y轴上，如图，作PH⊥y轴于H，交抛物线对称轴于K，

在和中，，

则，.

∵，∴.

设，

则：,.

∴，所以.

因此P点的坐标为：，.

若F点在 y轴上，如图，作PR垂直抛物线对称轴于R，FQ垂直抛物线对称轴于Q，则PER≌EFQ，∴ER=FQ，

所以，，即有：

∴或（舍去）

故P点的坐标为：.

综上所述，满足要求的P点的坐标有三个，分别为：

、、．