Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，交AC于点E．

（1）求证：BD＝CD．

（2）若弧DE＝50°，求∠C的度数．

（3）过点D作DF⊥AB于点F，若BC＝8，AF＝3BF，求弧BD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）65°；（3）．

【解析】

（1）连接AD，利用圆周角定理推知AD⊥BD，然后由等腰三角形的性质证得结论；

（2）根据已知条件得到∠EOD＝50°，结合圆周角定理求得∠DAC＝25°，所以根据三角形内角和定理求得∠ABD的度数，则∠C＝∠ABD，得解；

（3）设半径OD＝x．则AB＝2x．由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，根据射影定理知：BD2＝BFAB，据此列出方程求得x的值，最后代入弧长公式求解．

（1）证明：如图，连接AD．

∵AB是圆O的直径，

∴AD⊥BD．

又∵AB＝AC，

∴BD＝CD．

（2）解：∵弧DE＝50°，

∴∠EOD＝50°．

∴∠DAE＝∠DOE＝25°．

∵由（1）知，AD⊥BD，则∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABD＝65°．

（3）∵BC＝8，BD＝CD，

∴BD＝4．

设半径OD＝x．则AB＝2x．

由AF＝3BF可得AF＝AB＝x，BF＝AB＝x，

∵AD⊥BD，DF⊥AB，

∴BD2＝BFAB，即42＝x2x．

解得x＝4．

∴OB＝OD＝BD＝4，

∴△OBD是等边三角形，

∴∠BOD＝60°．

∴弧BD的长是：＝．