Question

2．如图Ⅰ，在第四象限的矩形ABCD，点A与坐标原点O重合，且AB=4，AD=3．如图Ⅱ，矩形ABCD沿OC方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点Q从B点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边BC经过点C向点D运动，当点Q到达点D时，矩形ABCD和点Q同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒．

（1）在图Ⅰ中，点C的坐标（4，3），在图Ⅱ中，当t=2时，点A坐标（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），Q坐标（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$）
（2）当点Q在线段BC或线段CD上运动时，求出△ACQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）点Q在线段BC或线段CD上运动时，作QM⊥x轴，垂足为点M，当△QMO与△ACD相似时，求出相应的t值．

Answer 1

分析 （1）根据AB=4，AD=3，可得点A的坐标，过A作AE⊥x轴于E，根据△AOE∽△CAB，可得AE：OE：AO=3：4：5，再根据当t=2时，OA=2，OE=$\frac{8}{5}$，AE=$\frac{6}{5}$，BQ=2，可得点A和点Q的坐标；
（2）分两种情况进行讨论：①当点Q在BC上时，②当点Q在CD上时，分别根据△ACQ的面积计算方法，求得S关于t的函数关系式，并根据点Q的位置写出t的取值范围；
（3）先过A作AE⊥x轴于E，根据△AOE∽△CAB，得出AE：OE：AO=3：4：5，再根据OA=t，得出OE=$\frac{4}{5}$t，AE=$\frac{3}{5}$t，再分两种情况进行讨论：①当点Q在BC上时，连接OQ，②当点Q在CD上时，连接OQ，分别根据相似三角形的对应边成比例，列出关于t的比例式，求得t的值并检验即可．

解答 解：（1）如图所示，∵AB=4，AD=3，
∴A（4，3），AC=5，
过A作AE⊥x轴于E，则△AOE∽△CAB，
∴AE：OE：AO=3：4：5，
当t=2时，OA=2，OE=$\frac{8}{5}$，AE=$\frac{6}{5}$，BQ=2，
∴A（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），
∵OE+AB=$\frac{28}{5}$，AE+BQ=$\frac{16}{5}$，
∴Q（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$），
故答案为：（4，3），（$\frac{8}{5}$，-$\frac{6}{5}$），（$\frac{28}{5}$，-$\frac{16}{5}$）；

（2）①当点Q在BC上时，连接AQ，
∵BQ=t，BC=3，
∴CQ=3-t，
∴△ACQ的面积=$\frac{1}{2}$×CQ×AB，即S=$\frac{1}{2}$×（3-t）×4=-2t+6（0≤t＜3）；
②当点Q在CD上时，连接AQ，
∵QC+BC=t，BC=3，
∴CQ=t-3，
∴△ACQ的面积=$\frac{1}{2}$×CQ×AD，即S=$\frac{1}{2}$×（t-3）×3=$\frac{3}{2}$t-$\frac{9}{2}$（3≤t≤7）；
∴S关于t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{-2t+6（0≤t＜3）}\\{\frac{3}{2}t-\frac{9}{2}（3≤t≤7）}\end{array}\right.$；

（3）如图所示，过A作AE⊥x轴于E，则△AOE∽△CAB，
∴AE：OE：AO=3：4：5，
∵OA=t，
∴OE=$\frac{4}{5}$t，AE=$\frac{3}{5}$t，
①当点Q在BC上时，连接OQ，
∵∠OMQ=∠D=90°，而BQ=t，
∴当$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DC}{DA}$时，△OMQ∽△CDA，
此时，$\frac{\frac{4}{5}t+4}{\frac{3}{5}t+t}$=$\frac{4}{3}$，解得t=3；
当$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DA}{DC}$时，△OMQ∽△ADC，
此时，$\frac{\frac{4}{5}t+4}{\frac{3}{5}t+t}$=$\frac{3}{4}$，解得t=10＞3，（舍去）；
②当点Q在CD上时，连接OQ，而DQ=3+4-t=7-t=EM，
∴OM=$\frac{4}{5}$t+7-t=7-$\frac{1}{5}$t，
∴当$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DC}{DA}$时，△OMQ∽△CDA，
此时，$\frac{7-\frac{1}{5}t}{\frac{3}{5}t+3}$=$\frac{4}{3}$，解得t=3；
当$\frac{OM}{QM}$=$\frac{DA}{DC}$时，△OMQ∽△ADC，
此时，$\frac{7-\frac{1}{5}t}{\frac{3}{5}t+3}$=$\frac{3}{4}$，解得t=$\frac{93}{13}$＞7，（舍去）
综上所述，当△QMO与△ACD相似时，t的值为3秒．

点评 本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识的综合应用；解题时注意：需要作辅助线构造相似三角形以及进行分类讨论，由相似三角形得出比例式是解题的关键．