Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C = 90°，∠BAC 的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心、OA长为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．

(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若OA = 2，∠B = 30°，求涂色部分的面积(结果保留和根号)．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)S阴影=.

【解析】

（1）连接OD，证明OD⊥BC即可;

（2）阴影部分面积可用直角三角形OBD面积减去扇形ODF面积.

(1)证明：连接OD，如图所示：

∵AD平分∠BAC

∴∠OAD=∠CAD

∵OA=OD

∴∠OAD=∠ODA

∴∠CAD =∠ODA

∴OD∥AC

∴∠C=∠ODB

∵∠C= 90°

∴∠ODB= 90°

∴OD⊥BC

∴直线BC与⊙O相切

(2)解：∵OA= OD，OA = 2

∴ OD = 2

在Rt△ABC中，OD＝2，∠B = 30°

∴OB= 4，∠ODB=60°

由勾股定理得：BD＝

∴S△OBD==

S扇ODF=，

∴S阴影=.