Question

【题目】如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．

（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；

（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．

Answer 1

【答案】答案见解析.

【解析】

试题（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；

（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．

试题解析：（1）在ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，

∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，

∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中，∵∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD，∴△CEF≌△AED，

∴ED=EF；

（2）由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，

∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；

（3）垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，∵∠M=∠FNE=90°，∠EAM=∠NCE=45°，AE=CE，

∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，

在△ADE与△CFE中，∵∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF，

∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，

∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．