Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 点M从点A开始沿AB边向点B以1cm/秒的速度向B点移动，点N从点B开始沿BC边以2cm/秒的速度向点C移动. 若M, N分别从A， B点同时出发，设移动时间为t (0<t<6)，△DMN的面积为S.

(1) 求S关于t的函数关系式，并求出S的最小值；

(2) 当△DMN为直角三角形时，求△DMN的面积.

Answer 1

【答案】（1）27（2）

【解析】

（1）根据t秒时，M、N两点的运动路程，分别表示出AM、BM、BN、CN的长度，由S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN进行列式即可得到S关于t的函数关系式，通过配方即可求得最小值；

（2）当△DMN为直角三角形时，由∠MDN<90°，分∠NMD或∠MND为90°两种情况进行求解即可得.

(1) 由题意，得AM=tcm，BN=2tcm，则BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm，

∵S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN，

∴S=12×6－×12t－(6－t)·2t－×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27，

∵t=3在范围0<t<6内，∴S的最小值为27cm2；

(2) 当△DMN为直角三角形时，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND为90°，

当∠NMD=90°时，DN2=DM2+MN2，

∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范围0<t<6内，

∴不可能；

当∠MND=90°时，DM2=DN2+MN2，

∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t=或6，(6不在范围0<t<6内舍)，

∴S=(－3)2+27=cm2.