题目内容

如图,P是y轴上一动点,是否存在平行于y轴的直线x=t,使它与直线y=x和直线y=-
1
2
x+2分别交于点D、E(E在D的上方),且△PDE为等腰直角三角形?若存在,求t的值及点P的坐标;若不存在,请说明原因.
存在.
方法一:当x=t时,y=x=t;
当x=t时,y=-
1
2
x+2=-
1
2
t+2.
∴E点坐标为(t,-
1
2
t+2),D点坐标为(t,t).(2分)
∵E在D的上方,
∴DE=-
1
2
t+2-t=-
3
2
t+2,且t<
4
3
.(3分)
∵△PDE为等腰直角三角形,
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD.(4分)
若t>0,PE=DE时,-
3
2
t+2=t,
∴t=
4
5
,-
1
2
t+2=
8
5

∴P点坐标为(0,
8
5
).(5分)
若t>0,PD=DE时,-
3
2
t+2=t,
∴t=
4
5

∴P点坐标为(0,
4
5
).(6分)
若t>0,PE=PD时,即DE为斜边,
∴-
3
2
t+2=2t(7分)
∴t=
4
7
,DE的中点坐标为(t,
1
4
t+1),
∴P点坐标为(0,
8
7
).(8分)
若t<0,PE=DE和PD=DE时,由已知得DE=-t,-
3
2
t+2=-t,t=4>0(不符合题意,舍去),
此时直线x=t不存在.(10分)
若t<0,PE=PD时,即DE为斜边,由已知得DE=-2t,-
3
2
t+2=-2t,(11分)
∴t=-4,
1
4
t+1=0,
∴P点坐标为(0,0).(12分)
综上所述:当t=
4
5
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
8
5
)或(0,
4
5
);
当t=
4
7
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
8
7
);
当t=-4时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,0).

方法二:设直线y=-
1
2
x+2交y轴于点A,交直线y=x于点B,过B点作BM垂直于y轴,垂足为M,交DE于点N.
∵x=t平行于y轴,
∴MN=|t|.(1分)
y=x
y=-
1
2
x+2

解得x=
4
3
,y=
4
3

∴B点坐标为(
4
3
4
3
),
∴BM=
4
3

当x=0时,y=-
1
2
x+2=2,
∴A点坐标为(0,2),
∴OA=2.(3分)
∵△PDE为等腰直角三角形,
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD.(4分)
如图,若t>0,PE=DE和PD=DE时,
∴PE=t,PD=t,
∵DEOA,
∴△BDE△BOA,
DE
OA
=
BN
BM
.(5分)
t
2
=
4
3
-t
4
3

∴t=
4
5

当t=
4
5
时,y=-
1
2
x+2=
8
5
,y=x=
4
5

∴P点坐标为(0,
8
5
)或(0,
4
5
).(6分)
若t>0,PD=PE时,即DE为斜边,
∴DE=2MN=2t.
∵DEOA,
∴△BDE△BOA,
DE
OA
=
BN
BM
(7分)
2MN
2
=
4
3
-MN
4
3

∴MN=t=
4
7
,DE中点的纵坐标为
1
4
t+1=
8
7

∴P点坐标为(0,
8
7
)(8分)
如图,
若t<0,PE=DE或PD=DE时,
∵DEOA,
∴△BDE△BOA,
DE
OA
=
BN
BM
(9分)
DE=-4(不符合题意,舍去),此时直线x=t不存在.(10分)
若t<0,PE=PD时,即DE为斜边,
∴DE=2MN=-2t,
∵DEOA,
∴△BDE△BOA,
DE
OA
=
BN
BM
(11分)
2MN
2
=
4
3
+MN
4
3

∴MN=4,
∴t=-4,
1
4
t+1=0,
∴P点坐标为(0,0).(12分)
综上述所述:当t=
4
5
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
8
5
)或(0,
4
5
);
当t=
4
7
时,△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,
8
7
);当t=-4时,
△PDE为等腰直角三角形,此时P点坐标为(0,0).
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