Question

已知抛物线C：y=x²-（m+1）x+1与x轴只有一个交点．
（1）求m的值；
（2）m＞0时，抛物线C向下平移n（n＞0）个单位后，再作关于y轴的轴对称变换得到抛物线C₁，并且C₁过点（n，3），求C₁的函数关系式；
（3）m＜0时，抛物线C的顶点为M，且过点P（-2，y₀），连接OP，问在抛物线上是否存在一点Q，使以点Q和O、M、P中任意两点构成的三角形与△OPM的面积相等？如果存在，求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线与x轴只有一个交点，说明△=b²-4ac=0，依此得到关于m的方程，解方程即可求得m的值；
（2）由（1）可知，m＞0时，即m=1，将m=1代入y=x²-（m+1）x+1，得到抛物线C的解析式为y=x²-2x+1，根据上加下减的平移规律得到抛物线C向下平移n个单位后的解析式为y=x²-2x+1-n，由对称性得出抛物线C₁：y=x²+2x+1-n，再将点（n，3）代入，运用待定系数法即可求出C₁的函数关系式；
（3）由（1）可知，m＜0时，即m=-3，将m=-3代入y=x²-（m+1）x+1，得到抛物线C的解析式为y=x²+2x+1，利用配方法求出顶点M的坐标为（-1，0），将点P（-2，y₀）代入，求出P的坐标为（-2，1）．根据两平行线之间的距离处处相等及同底等高的两个三角形面积相等，分三种情况进行讨论：①当PQ∥OM时，S_△OMQ=S_△OPM，由对称性可知点Q₁的坐标是（0，1）；②当OQ∥PM时，S_△PQM=S_△OPM，先求出直线OQ的解析式，再将直线OQ的解析式与抛物线的解析式联立，组成方程组，解方程组求出点Q的坐标；③当MQ∥OP时，S_△OPQ=S_△OPM，先求直线MQ的解析式，再将直线MQ的解析式与抛物线的解析式联立，组成方程组，解方程组求出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线C：y=x²-（m+1）x+1与x轴只有一个交点，
∴△=[-（m+1）]²-4=0，
解得m=1或m=-3；

（2）当m＞0时，m=1，抛物线C的解析式为y=x²-2x+1．
向下平移n（n＞0）个单位后得到y=x²-2x+1-n，
由对称性可知抛物线C₁：y=x²+2x+1-n．
∵C₁过点（n，3），
∴n²+2n+1-n=3，即n²+n-2=0，
解得n₁=1，n₂=-2（由题意n＞0，舍去），
∴n=1，
∴抛物线C₁：y=x²+2x；

（3）存在．
当m＜0时，m=-3，抛物线C：y=x²+2x+1=（x+1）²，顶点M（-1，0）．
∵抛物线C过点P（-2，y₀），
∴y₀=（-2+1）²=1，
∴P（-2，1）．  
①当PQ∥OM时，S_△OMQ=S_△OPM，
由对称性可知点Q₁的坐标是（0，1）；
②当OQ∥PM时，S_△PQM=S_△OPM，
直线PM的解析式为y=-x-1，所以直线OQ的解析式为y=-x．
解方程组

y=x2+2x+1 y=-x

，
求出点Q的坐标分别是Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

），Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）；
③当MQ∥OP时，S_△OPQ=S_△OPM，
直线OP的解析式为y=-

1

2

x，所以直线MQ的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

．
解方程组

y=x2+2x+1 y=- 1 2 x- 1 2

，求出点Q的坐标分别是（-

3

2

，

1

4

）．
综上所述，存在符合条件的点共有4个，分别为Q₁（0，1）、Q₂（

-3+ 5

2

，

3- 5

2

）、Q₃（

-3- 5

2

，

3+ 5

2

）、Q₄（-

3

2

，

1

4

）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的性质，运用待定系数法求直线的解析式，函数解析式平移、翻折的规律，三角形的面积，直线与抛物线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．