题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,RtABC的三个顶点分别是A83),B40),C43),ABC=α°.抛物线y=x2+bx+c经过点C,且对称轴为x=,并与y轴交于点G

1)求抛物线的解析式及点G的坐标;

2)将RtABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到DEF.若点F恰好落在抛物线上.①求m的值;

②连接CGx轴于点H,连接FG,过BBPFG,交CG于点P,求证:PH=GH

【答案】(1)y=x2+x,点G(0,-);(2)①②证明见解析.

【解析】试题分析:(1)把点C坐标代入y=x2+bx+c得一方程,用对称轴公式得另一方程,组成方程组求出解析式,并求出G点的坐标;(2作辅助线,构建直角DEF斜边上的高FM,利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标,根据点F在抛物线上,列方程求出m的值;F点和G点坐标已知,可以求出直线FG的方程,那么FGx轴的交点坐标(设为Q)可以知道,C点坐标已知,CG的方程也可以求出,那么H点坐标可以求出,可以证明BPHQGH全等.

试题解析:(1)根据题意得:

解得:

抛物线的解析式为:y=x2+x﹣,点G0);

2FFM⊥y轴,交DEM,交y轴于N

由题意可知:AC=4BC=3,则AB=5FM=

∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E

E﹣4+m0),OE=MN=4﹣mFN=4﹣m=m﹣

RtFME中,由勾股定理得:EM==

Fm﹣),

∵F抛物线上,

=m﹣2+m﹣

5m2﹣8m﹣36=0

m1=﹣2(舍),

F),

F2),

易求得FG的解析式为:y=x﹣

CG解析式为:y=﹣x﹣

x﹣=0x=1,则Q10),

x﹣=0x=﹣1.5,则H﹣1.50),

∴BH=4﹣1.5=2.5HQ=1.5+1=2.5

∴BH=QH

∵BP∥FG

∴∠PBH=∠GQH∠BPH=∠QGH

∴△BPH≌△QGH

∴PH=GH

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