题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的三个顶点分别是A(﹣8,3),B(﹣4,0),C(﹣4,3),∠ABC=α°.抛物线y=x2+bx+c经过点C,且对称轴为x=﹣,并与y轴交于点G.
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标;
(2)将Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,然后将三角形绕点E顺时针旋转α°得到△DEF.若点F恰好落在抛物线上.①求m的值;
②连接CG交x轴于点H,连接FG,过B作BP∥FG,交CG于点P,求证:PH=GH.
【答案】(1)y=x2+x,点G(0,-);(2)①;②证明见解析.
【解析】试题分析:(1)把点C坐标代入y=x2+bx+c得一方程,用对称轴公式得另一方程,组成方程组求出解析式,并求出G点的坐标;(2)①作辅助线,构建直角△DEF斜边上的高FM,利用直角三角形的面积相等和勾股定理可表示F的坐标,根据点F在抛物线上,列方程求出m的值;②F点和G点坐标已知,可以求出直线FG的方程,那么FG和x轴的交点坐标(设为Q)可以知道,C点坐标已知,CG的方程也可以求出,那么H点坐标可以求出,可以证明△BPH和△QGH全等.
试题解析:(1)根据题意得:
解得:
∴抛物线的解析式为:y=x2+x﹣,点G(0,﹣);
(2)①过F作FM⊥y轴,交DE于M,交y轴于N,
由题意可知:AC=4,BC=3,则AB=5,FM=,
∵Rt△ABC沿x轴向右平移m个单位,使B点移到点E,
∴E(﹣4+m,0),OE=MN=4﹣m,FN=﹣(4﹣m)=m﹣,
在Rt△FME中,由勾股定理得:EM==,
∴F(m﹣, ),
∵F抛物线上,
∴=(m﹣)2+(m﹣)﹣,
5m2﹣8m﹣36=0,
m1=﹣2(舍),;
②F(, ),
∴F(2, ),
易求得FG的解析式为:y=x﹣,
CG解析式为:y=﹣x﹣,
∴x﹣=0,x=1,则Q(1,0),
﹣x﹣=0,x=﹣1.5,则H(﹣1.5,0),
∴BH=4﹣1.5=2.5,HQ=1.5+1=2.5,
∴BH=QH,
∵BP∥FG,
∴∠PBH=∠GQH,∠BPH=∠QGH,
∴△BPH≌△QGH,
∴PH=GH.