Question

【题目】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）若AE=1时，求AP的长；

（2）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）2；（3）DE=3，不变.

【解析】试题分析：（1）由△APF是等边三角形，PE⊥AF，得到∠APE=30°，由30°所对直角边等于斜边的一半，得到结论；

（2）过P作PF∥QC，则△AFP是等边三角形，可得到△DBQ≌△DFP，得到∠BQD=∠BDQ=∠FDP=∠FPD=30°，得到BD=DF=FA，从而得到结论；

（3）由（2）得到BD=DF，得到DE+DF+EF=AB=6，从而得到DE=3，为定值．

试题解析：解：（1）∵△APF是等边三角形，∴∠A=60°．∵PE⊥AF，∴∠APE=30°．

∵AE=1，∠APE=30°，PE⊥AF，∴AP=2AE=2；

（2）过作PF∥QC，则△AFP是等边三角形，

∵同时出发，速度相同，即，

∴，∴，∴，

∵

∴

（3）由（2）知，而是等边三角形， ．

∵ ∴

即为定值，即的长不变．