Question

【题目】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子． ①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2 ， 那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2 ， 求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

【答案】
（1）解：①设剪掉的正方形的边长为xcm．

则（40﹣2x）2=484，

即40﹣2x=±22，

解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9，

∴剪掉的正方形的边长为9cm．

②侧面积有最大值．

设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2，

则y与a的函数关系为：y=4（40﹣2a）a，

即y=﹣8a2+160a，

即y=﹣8（a﹣10）2+800，

∴a=10时，y最大=800．

即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2

（2）解：在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的边长为xcm．

2（40﹣2x）（20﹣x）+2x（20﹣x）+2x（40﹣2x）=550，

解得：x1=﹣35（不合题意，舍去），x2=15．

∴剪掉的长方形盒子的边长为15cm．

40﹣2×15=10（cm），

20﹣15=5（cm），

此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm．

【解析】（1）①假设剪掉的正方形的边长为xcm，根据题意得出（40﹣2x）2=484，求出即可；②假设剪掉的正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm2 ， 则y与x的函数关系为：y=4（40﹣2a）a，利用二次函数最值求出即可；（2）假设剪掉的长方形盒子的高为tcm，利用折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2 ， 得出等式方程求出即可．