题目内容
如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF•AC,cos∠ABD=
,AD=12.
(1)求证:△ANM≌△ENM;
(2)求证:FB是⊙O的切线;
(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
3 |
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(1)求证:△ANM≌△ENM;
(2)求证:FB是⊙O的切线;
(3)证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
(1)证明:∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°.
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=∠EMN.
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM.
(2)证明:∵AB2=AF•AC,
∴
=
.
又∵∠BAC=∠FAB=90°,
∴△ABF∽△ACB.
∴∠ABF=∠C.
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°,
∴FB是⊙O的切线.
(3)由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN,
又∵AN∥ME,
∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN.
∴四边形AMEN是菱形.
∵cos∠ABD=
,∠ADB=90°,
∴
=
.
设BD=3x,则AB=5x,
由勾股定理AD=
=4x;
∵AD=12,
∴x=3,
∴BD=9,AB=15.
∵MB平分∠AME,
∴BE=AB=15,
∴DE=BE-BD=6.
∵ND∥ME,
∴∠BND=∠BME.
又∵∠NBD=∠MBE,
∴△BND∽△BME.
∴
=
.
设ME=x,则ND=12-x,
=
,解得x=
.
∴S=ME•DE=
×6=45.
∴∠BAC=90°.
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=∠EMN.
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM.
(2)证明:∵AB2=AF•AC,
∴
AB |
AC |
AF |
AB |
又∵∠BAC=∠FAB=90°,
∴△ABF∽△ACB.
∴∠ABF=∠C.
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°,
∴FB是⊙O的切线.
(3)由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN,
又∵AN∥ME,
∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN.
∴四边形AMEN是菱形.
∵cos∠ABD=
3 |
5 |
∴
BD |
AB |
3 |
5 |
设BD=3x,则AB=5x,
由勾股定理AD=
(5x)2-(3x)2 |
∵AD=12,
∴x=3,
∴BD=9,AB=15.
∵MB平分∠AME,
∴BE=AB=15,
∴DE=BE-BD=6.
∵ND∥ME,
∴∠BND=∠BME.
又∵∠NBD=∠MBE,
∴△BND∽△BME.
∴
ND |
ME |
BD |
BE |
设ME=x,则ND=12-x,
12-x |
x |
9 |
15 |
15 |
2 |
∴S=ME•DE=
15 |
2 |
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