题目内容
已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于E，
=
，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF．
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=
，求线段AD、CD的长．
 |
| BC |
|
| BD |
（1）求证：CD∥BF．
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
（1）证明：∵直径AB平分
，
∴AB⊥CD．
∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BF．
∴CD∥BF．
（2）连接BD，BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，
∵cos∠BAF=cos∠BCD=
，AB=4×2=8．
∴AD=AB•cos∠BAF=8×
=6．
∵AB⊥CD于E，
在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD=
，sin∠BAF=
．
∴DE=AD•sin∠BAF=6×
=
．
∵直径AB平分
，
∴CD=2DE=3
．
|
| CD |
∴AB⊥CD．
∵BF与⊙O相切，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BF．
∴CD∥BF．
（2）连接BD，BC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ADB中，
∵cos∠BAF=cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
∴AD=AB•cos∠BAF=8×
| 3 |
| 4 |
∵AB⊥CD于E，
在Rt△AED中，cos∠BAF=cos∠BCD=
| 3 |
| 4 |
| ||
| 4 |
∴DE=AD•sin∠BAF=6×
| ||
| 4 |
| 3 |
| 2 |
| 7 |
∵直径AB平分
|
| CD |
∴CD=2DE=3
| 7 |
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