题目内容
已知抛物线y=3ax2+2bx+c
(1)若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若a+b+c=1,是否存在实数x0,使得相应的y=1?若有,请指明有几个并证明你的结论;若没有,阐述理由;
(3)若a=
,c=2+b且抛物线在-1≤x≤2区间上的最小值是-3,求b的值.
(1)若a=b=1,c=-1,求该抛物线与x轴的交点坐标;
(2)若a+b+c=1,是否存在实数x0,使得相应的y=1?若有,请指明有几个并证明你的结论;若没有,阐述理由;
(3)若a=
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考点:二次函数综合题
专题:综合题
分析:(1)将a、b、c的值代入,可得出抛物线解析式,从而可求解抛物线与x轴的交点坐标;
(2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,表示出方程的判别式的表达式,利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论;
(3)a=
,c-b=2,则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2,其对称轴为x=-b,以-1≤x≤2为区间,讨论b的取值,根据最小值为-3,可得出方程,求出b的值即可.
(2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,表示出方程的判别式的表达式,利用配方法及完全平方的非负性即可判断出结论;
(3)a=
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解答:解:(1)当a=b=1,c=-1,时,抛物线为y=3x2+2x-1,
∵方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1,x2=
,
∴该抛物线与x轴交点的坐标是(-1,0)和(
,0);
(2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,
△=4b2-12a(c-1)
=4b2-12a(-a-b)
=4b2+12ab+12a2
=4(b2+3ab+3a2)
=4[(b+
a)2+
a2],
∵a≠0,
∴△>0,
∴方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根,
即存在两个不同实数x0,使得相应y=1;
(3)a=
,c-b=2,则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2,其对称轴为x=-b,
当x=-b<-1时,即b>1,则有抛物线在x=-1时取最小值为-3,
此时-3=(-1)2+2×(-1)b+b+2,
解得:b=6,符合题意;
当x=-b>2时,即b<-2,则有抛物线在x=2时取最小值为-3,
此时-3=22+2×2b+b+2,
解得:b=-
,不合题意,舍去.
当-1≤-b≤2时,即-2≤b≤1,则有抛物线在x=-b时取最小值为-3,
此时-3=(-b)2+2×(-b)b+b+2,
化简得:b2-b-5=0,
解得:b=
(不合题意,舍去),b=
,
综上可得:b=6或b=
.
∵方程3x2+2x-1=0的两个根为x1=-1,x2=
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∴该抛物线与x轴交点的坐标是(-1,0)和(
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(2)由y=1得3ax2+2bx+c=1,
△=4b2-12a(c-1)
=4b2-12a(-a-b)
=4b2+12ab+12a2
=4(b2+3ab+3a2)
=4[(b+
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∵a≠0,
∴△>0,
∴方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根,
即存在两个不同实数x0,使得相应y=1;
(3)a=
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当x=-b<-1时,即b>1,则有抛物线在x=-1时取最小值为-3,
此时-3=(-1)2+2×(-1)b+b+2,
解得:b=6,符合题意;
当x=-b>2时,即b<-2,则有抛物线在x=2时取最小值为-3,
此时-3=22+2×2b+b+2,
解得:b=-
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当-1≤-b≤2时,即-2≤b≤1,则有抛物线在x=-b时取最小值为-3,
此时-3=(-b)2+2×(-b)b+b+2,
化简得:b2-b-5=0,
解得:b=
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综上可得:b=6或b=
1-
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点评:本题考查了二次函数的综合,涉及了一元二次方程的解,求根公式及根与系数的关系,解答本题的难点在第三问,关键是分类讨论,此题难度较大.
练习册系列答案
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B、
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D、2 |
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