Question

如图，O是已知线段AB上一点，以OB为半径的⊙O交线段AB于点C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD的延长线交于点E；
（1）求证：AE切⊙O于点D；
（2）若AC=2，且AC、AD的长是关于x的方程x2-kx+4

5

=0的两根，求线段EB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD．
∵AO为半圆直径，∴∠ADO=90°．
∴AE切⊙O于点D；

（2）∵AC、AD的长是关于x的方程x2-kx+4

5

=0的两根，
∴AC•AD=4

5

；
∵AC=2，
∴AD=2

5

．
设OD=OC=x，则（x+2）²=（2

5

）²+x²．
解得x=4．
∴AB=2+8=10．
∵∠ADO=∠ABE=90°，∠A=∠A，
∴△AOD∽△AEB，
∴

OD

BE

=

AD

AB

，即

4

BE

=

2 5

10

，
∴BE=4

5

．