题目内容
【题目】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为点E，AE=BE.
(1)猜想：∠B的度数，并证明你的猜想.
(2)如果AC=3cm，CD=2cm，求△ABD的面积.
【答案】(1)∠B=30°，证明见解析；(2)S△ABD=6cm2.
【解析】
(1)根据已知条件得到AD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠DAE，根据AD是△ABC的角平分线，求得∠DAE=∠DAC，于是得到∠B=∠DAE=∠DAC，列方程即可得到结论；
(2)根据已知条件求得Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE=BE，于是得到AB=2AE=2×3=6，即可得到结论.
解：(1)猜想：∠B=30°，
∵DE⊥AB且AE=BE，
∴AD=BD，
∴∠B=∠DAE，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE=∠DAC，
∴∠B=∠DAE=∠DAC，
∵∠C=90°，
∴∠B+∠DAE+∠DAC=90°，
∴∠B=30°；
(2)∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2×3=6，
∴S△ABD=
ABDE=×6×2=6cm2.
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