题目内容
【题目】如图1,OABC的边OC在y轴的正半轴上,,
,反比例函数
的图象经过的B.
求点B的坐标和反比例函数的关系式;
如图2,直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M,N两点,若点O和点B关于直线MN成轴对称,求线段ON的长;
如图3,将线段OA延长交
的图象于点D,过B,D的直线分别交x轴、y轴于E,F两点,请探究线段ED与BF的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)反比例函数的解析式为;(2)
;
结论:
理由见解析.
【解析】
试题(1)利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题;
(2)根据两直线垂直的条件,求出直线MN的解析式即可解决问题;
(3)结论:BF=DE.如图3中,延长BA交x轴于N,作DM⊥x轴于M,作NK∥EF交y轴于K.设ON=n,OM=m,ME=a.则BN=,DM=
.由△EDM∽△EBN,推出
,即
,可得a=m,由△KNO≌△DEM,推出DE=KN,再证明四边形NKFB是平行四边形,即可解决问题;
试题解析:(1)如图1中,∵四边形OABC是平行四边形,∴AB=OC=3,∵A(2,1),∴B(2,4),把B(2,4)代入中,得到k=8,∴反比例函数的解析式为
.
(2)如图2中,设K是OB的中点,则K(1,2).∵直线OB的解析式为y=2x,∴直线MN的解析式为y=﹣x+
,∴N(0,
),∴ON=
.
(3)结论:BF=DE.理由如下:
如图3中,延长BA交x轴于N,作DM⊥x轴于M,作NK∥EF交y轴于K.设ON=n,OM=m,ME=a.则BN=,DM=
.∵△EDM∽△EBN,∴
,∴
,可得a=m,∵NK∥EF,∴∠KNO=∠DEM,∠KON=∠DME=90°,ON=EM,∴△KNO≌△DEM,∴DE=KN,∵FK∥BN,NK∥FB,∴四边形NKFB是平行四边形,∴NK=BF,∴BF=DE.
