Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，设OC=xcm，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，x= ．

Answer 1

【答案】2 ，3 或6
【解析】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°，AB=10 ，
∵CD为中线，
∴CD=AD=BD= AB=5 ，
∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，
∵半径为3cm的⊙O，
∴DE=3，
①当⊙O与AB相切时，
如图1，

过点O做OE⊥AB于E，
在RT△ODE中，∠BDC=60°，DE=3，
∴sin∠BDC= ，
∴OD= = =2 ；
∴x=OC=CD﹣OD=5 ﹣2 =3 ；
②当⊙O与BC相切时，
如图2，

过O作OE⊥BC，
在RT△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，
∴sin∠BCD= ，
∴OC= = =2 cm；
∴x=OC=2 ；
③当⊙O与AC相切时，
如图3，

过O作OE⊥AC于E，
在RT△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，
∴sin∠ACD= ，
∴OC= = =6，
∴x=OC=6．
所以答案是2 ，3 或6．
【考点精析】解答此题的关键在于理解含30度角的直角三角形的相关知识，掌握在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，以及对切线的性质定理的理解，了解切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．