Question

在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0.4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．

（I ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（II）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（III）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．

Answer 1

（1）（，）   （2）α=2β   （3）y=x﹣4

试题分析：（1）∵点A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB==5，
根据题意，有DA=OA=3．
如图①，过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有，
得，
∴OM=，
∴，
∴点D的坐标为（，）．
（2）如图②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°﹣2∠ABC，
∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°﹣∠ABO=90°﹣β，
∴α=2β；
（3）若顺时针旋转，如图，过点D作DE⊥OA于E，过点C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD==，
设DE=3x，OE=4x，
则AE=4x﹣3，
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，
∴9=9x²+（4x﹣3）²，
∴x=，
∴D（，），
∴直线AD的解析式为：y=x﹣，
∵直线CD与直线AD垂直，且过点D，
∴设y=﹣x+b，把D（，）代入得，=﹣×+b，
解得b=4，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣．
同理可得直线CD的另一个解析式为y=x﹣4．




点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解释式等知识点，本题关键在于结合图形找到相似三角形，求相关线段的长度和有关点的坐标．