Question

如图所示，在形状和大小不确定的△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在EF或EF的延长线上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．

（1）当x=EF时，求S_△DPE：S_△DBC的值；
（2）当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
（3）①当CQ=CE时，求y与x之间的函数关系式；
②当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）1：36     （2）y=6﹣x     （3）y=6（n﹣1）﹣x

试题分析：（1）∵E、F分别是AB、AC的中点，x=EF，
∴EF∥BC，且EF=BC，
∴△EDP∽△CDB，
∴=，
∴S_△DPE：S_△DBC=1：36；
（2）如右图，设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；
不妨设EQ=kCQ=ka（k＞0），则DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．
过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N，
∵BQ平分∠CBP，
∴QM=QN．
∴，
又∵，
∴，即 ①
∵EP∥BC，∴，即 ②
∵EP∥BC，∴，即 ③
由①②③式联立解得：y=6k﹣x ④
当CQ=CE时，k=1，
故y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x．
（3）当CQ=CE时，k=2，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=12﹣x；
当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，k=n﹣1，由（2）中④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n﹣1）﹣x．

点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、三角形中位线定理和角平分线性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题第（2）（3）问，采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=CE时，CQ=CE时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=CE（n为不小于2的常数）时的一般情况．