题目内容
点E为正方形ABCD的对角线上一点,连接DE,BE并延长交AD于点F,DE⊥EG交BC于G,下列结论:
①△BEC≌△DEC;②∠BED=120°时,EF平分∠AED;③EG=ED;④BG=
AE;⑤当点G为BC的中点时,DF=2AF.
其中正确的有:______.
①△BEC≌△DEC;②∠BED=120°时,EF平分∠AED;③EG=ED;④BG=
2 |
其中正确的有:______.
∵四边形ABCD为正方形,
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°,
在△BEC和△DEC中DCE,
∵
,
∴△BEC≌△DEC(SAS),故①正确;
∴∠BEC=∠DEC,
当∠BED=120°时,∠DEC=
×120°=60°,
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°,
所以,∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°,
所以,∠AEF=∠DEF,
即EF平分∠AED,故②正确;
如图,过E作MN∥AB交正方形于M、N,PQ∥AD交正方形于P、Q,
则四边形EMCP、四边形AQEN都为正方形,
∵EG⊥DE,
∴∠DEP+∠PCG=90°,
又∵∠GEN+∠PCG=90°,
∴∠DEP=∠GEM,
在△DEP和△GEM中,
∵
,
∴△DEP≌△GEM(ASA),
∴EG=ED,故③正确;
∵△BEC≌△DEC,
∴ED=EB,
∴EB=EG,
∵EM⊥BG,
∴BG=2BM,
∵BM=AN,
又∵AN=
AE,
∴BG=2×
AE=
AE,故④正确;
当点G为BC的中点时,设正方形AQEN的边长为x,
则BG=2BM=2x,BC=2BG=4x,
∴AB=BC=4x,
由MN∥AB得,△ABF∽△NEF,
∴
=
,
即
=
,
解得AF=
x,
所以,DF=4x-
x=
x,
∴DF=2AF,故⑤正确,
综上所述,正确的有①②③④⑤.
故答案为:①②③④⑤.
∴CB=CD,∠BCE=∠DCE=45°,
在△BEC和△DEC中DCE,
∵
|
∴△BEC≌△DEC(SAS),故①正确;
∴∠BEC=∠DEC,
当∠BED=120°时,∠DEC=
1 |
2 |
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°,
所以,∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°,
所以,∠AEF=∠DEF,
即EF平分∠AED,故②正确;
如图,过E作MN∥AB交正方形于M、N,PQ∥AD交正方形于P、Q,
则四边形EMCP、四边形AQEN都为正方形,
∵EG⊥DE,
∴∠DEP+∠PCG=90°,
又∵∠GEN+∠PCG=90°,
∴∠DEP=∠GEM,
在△DEP和△GEM中,
∵
|
∴△DEP≌△GEM(ASA),
∴EG=ED,故③正确;
∵△BEC≌△DEC,
∴ED=EB,
∴EB=EG,
∵EM⊥BG,
∴BG=2BM,
∵BM=AN,
又∵AN=
| ||
2 |
∴BG=2×
| ||
2 |
2 |
当点G为BC的中点时,设正方形AQEN的边长为x,
则BG=2BM=2x,BC=2BG=4x,
∴AB=BC=4x,
由MN∥AB得,△ABF∽△NEF,
∴
NE |
AB |
NF |
AF |
即
x |
4x |
AF-x |
AF |
解得AF=
4 |
3 |
所以,DF=4x-
4 |
3 |
8 |
3 |
∴DF=2AF,故⑤正确,
综上所述,正确的有①②③④⑤.
故答案为:①②③④⑤.
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