题目内容

如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．
（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=ha，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证：x=
aha
a+ha
；
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．
（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（ha-x）：ha=x：a，
a（ha-x）=hax，
aha-ax=hax，
（a+ha）x=aha，
∴x=
aha
a+ha
；

（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC=
AB2+AC2
=5，则AD=
12
5
，
此时正方形的边长是：
5×
12
5
5+
12
5
=
60
37
；
当图③时，正方形的边长是
3×4
3+4
=
12
7
，
故③的情况面积大．


（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S=
1
2
aha，则x=
S
2(a+ha)
，
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+ha最小，则x最大，内接正方形的面积最大．
练习册系列答案
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如图，正方形的边长为6，经过点（0，-4）的直线，把正方形分成面积相等的两部分，则直线的函数解析式______．
如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　）
A．16B．17C．18D．19
如图正方形ABCD，E、F分别为AD、AB的中点，CE、DF交于P，求证：CE⊥DF．
如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，过点A作AG⊥BE，垂足为G，AG交BD于点F．
①试说明OE=OF；
②若点E在AC的延长线上，AG⊥BE，交EB延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，若其他条件不变，请作图，结论OE=OF仍成立吗？请说明你的理由．
点E为正方形ABCD的对角线上一点，连接DE，BE并延长交AD于点F，DE⊥EG交BC于G，下列结论：
①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°时，EF平分∠AED；③EG=ED；④BG=
2
AE；⑤当点G为BC的中点时，DF=2AF．
其中正确的有：______．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF
如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE=AC，AE交CD于点F．那么，∠ACB=______°，∠E=______°．
如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT=（　　）
A．
2
B．2
2
C．2D．1

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