题目内容

【题目】如图,在等腰中,边上的中点,点分别在边上运动,且保持.连接.在此运动变化的过程中,下列结论:①是等腰直角三角形;②长度的最小值为4;③四边形的面积保持不变;④面积的最大值为8.其中正确的结论是(

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【解析】

连接CF,根据全等三角形判定和性质可得正确;由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小,可得②错误;由△ADF≌△CEF,得SCEF=SADF,S四边形CEFD=SAFC,得③正确;当△CEF面积最大时,由②知,此时△DEF的面积最小,此时SCEF=S四边形CEFD-SDEF=SAFC-SDEF,可得④正确.

连接CF

∵△ABC是等腰直角三角形,边上的中点

∴∠FCB=A=45°CF=AF=FB

AD=CE

∴△ADF≌△CEF

EF=DF,∠CFE=AFD

∵∠AFD+CFD=90°

∴∠CFE+CFD=EFD=90°

∴△EDF是等腰直角三角形.

因此正确.

由于△DEF是等腰直角三角形,因此当DE最小时,DF也最小;

即当DFAC时,DE最小,此时DF=BC=4.

DE==DF=4

因此②错误.

∵△ADF≌△CEF

SCEF=SADF

S四边形CEFD=SAFC

因此③正确.

△CEF面积最大时,由②知,此时△DEF的面积最小.

此时SCEF=S四边形CEFD-SDEF=SAFC-SDEF=16-8=8

因此④正确.

故选:C.

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