Question

已知：如图，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=4，PB=2．
（1）求BC、AB的长；
（2）若∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D、E．求AE的长．

Answer 1

（1）设BC=x，PC=BC+BP=x+2，PA=4，
∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的割线，
∴PA²=PB•PC，即16=2（x+2），
解得：x=6，则BC=6；
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴

AB

AC

=

PB

PA

，又PB=2，PA=4，
∴

AB

AC

=

PB

PA

=

1

2

，
∴AC=2AB，
设AB=k，AC=2k，
∵CB为圆的直径，∴∠CAB=90°，
在Rt△ABC中，由BC=6，
根据勾股定理得：BC²=AB²+AC²，
即36=k²+4k²，解得：k=

6 5

5

，
则AB=

6 5

5

；

（2）∵AE为∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠BAE，
又∵AP为圆的切线，∴∠PAB=∠C，
∵∠PDA为△CAD的外角，
∴∠PDA=∠C+∠CAE，又∠PAD=∠PAB+∠BAD，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD=4，
∴BD=DP-BP=4-2=2，CD=CB-BD=6-2=4，OD=CD-OC=4-3=1，
连接AO，OE，由PA为圆的切线，得到∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠DAP=90°，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
又∠PAD=∠PDA=∠ODE，
∴∠OEA+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
在Rt△EOD中，由OD=1，OE=3，
由勾股定理得DE=

10

，
由相交弦定理得：AD•DE=BD•CD，
∴AD=

BD•CD

DE

=

2×4

10

=

4 10

5

，
则AE=AD+DE=

4 10

5

+

10

=

9 10

5

．