题目内容
如图,AB为⊙O的直径,弦CD与AB相交于E,DE=EC,过点B的切线与AD的延长线交于F,过E作EG⊥BC于G,延长GE交AD于H.
(1)求证:AH=HD;
(2)若cos∠C=
,DF=9,求⊙O的半径.
(1)求证:AH=HD;
(2)若cos∠C=
4 |
5 |
(1)证明:∵AB为⊙O的直径,DE=EC,
∴AB⊥CD,
∴∠C+∠CBE=90°,
∵EG⊥BC,
∴∠C+∠CEG=90°,
∴∠CBE=∠CEG,
∵∠CBE=∠CDA,∠CEG=∠DEH,
∴∠CDA=∠DEH,
∴HD=EH,
∵∠A+∠ADC=90°,∠AEH+∠DEH=90°,
∴AH=EH,
∴AH=HD;
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDF=90°,
∵BF是⊙O的切线,
∴∠DBF=∠C,
∵cos∠C=
,DF=9,
∴tan∠DBF=
,
∴BD=
=12,
∵∠A=∠C,
∴sin∠A=
,
∴AB=
=20,
∴⊙O的半径为10.
∴AB⊥CD,
∴∠C+∠CBE=90°,
∵EG⊥BC,
∴∠C+∠CEG=90°,
∴∠CBE=∠CEG,
∵∠CBE=∠CDA,∠CEG=∠DEH,
∴∠CDA=∠DEH,
∴HD=EH,
∵∠A+∠ADC=90°,∠AEH+∠DEH=90°,
∴AH=EH,
∴AH=HD;
(2)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDF=90°,
∵BF是⊙O的切线,
∴∠DBF=∠C,
∵cos∠C=
4 |
5 |
∴tan∠DBF=
3 |
4 |
∴BD=
DF |
tan∠DBF |
∵∠A=∠C,
∴sin∠A=
3 |
5 |
∴AB=
BD |
sin∠A |
∴⊙O的半径为10.
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