Question

如图，在正三角形GHT上截得一个每一个内角都相等、周长为20的六边形ABCDEF，又AF=4，EF=3，
（1）填空：连结AE，则AE的长为

 

；
（2）已知设AB=x，六边形ABCDEF的面积为y，则y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正多边形和圆,等边三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）先利用多边形内角和定理求出六边形ABCDEF的每一个内角都等于120°，则与其相邻的外角都等于60°，得出△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形，再过点E作EM⊥FG于M，根据等腰三角形三线合一的性质得出FM=

1

2

FG=

3

2

，则EM=

3

FM=

3

2

3

，然后在Rt△AEM中，利用勾股定理即可求出AE的长；
（2）先由等边三角形的三边相等得出3+4+x=x+a+b=b+c+3，由六边形ABCDEF的周长为20，得出a+b+c+x=13，再将式子变形得出b=2x-2，然后由y=S_△GHT-S_△ABH-S_△CDT-S_△GFE，得出y=-

3

（x-

11

4

）²+

265 3

16

，根据二次函数的性质即可求解．

解答：解：（1）∵六边形ABCDEF的每一个内角都相等，
∴∠FAB=∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEF=∠EFA=120°，
∴∠BAH=∠ABH=∠DCT=∠CDT=∠FEG=∠EFG=60°，
∴△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形．
过点E作EM⊥FG于M，则FM=

1

2

FG=

1

2

EF=

3

2

，
∴EM=

3

FM=

3

2

3

．
△AEM中，∵∠AME=90°，AM=AF+FM=4+

3

2

=

11

2

，EM=

3

2

3

，
∴AE=

AM2+EM2

=

( 11 2 )2+( 3 3 2 )2

=

37

；

（2）∵三角形GHT为等边三角形，
∴GH=HT=TG，
∵△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形，
∴3+4+x=x+a+b=b+c+3，
∴a+b=7，4+x=b+c，
∵六边形ABCDEF的周长为20，
∴a+b+c+x=13，7+c+x=13，
∴c+x=6，c=6-x，
∴b+6-x=4+x，b=2x-2．
∴y=S_△GHT-S_△ABH-S_△CDT-S_△GFE
=

3

4

（x+7）²-

3

4

x²-

3

4

（2x-2）²-

3

4

×3²
=-

3

x²+

11 3

2

x+9

3

=-

3

（x-

11

4

）²+

265 3

16

，
∴当x=

11

4

时，y有最大值

265 3

16

．
故答案为

37

；

265 3

16

．

点评：本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值，多边形的面积，有一定难度，本题对式子的变形能力要求也较高，解题关键是证明△ABH，△CDT，△EFG都是等边三角形．