Question

如图，在直角坐标系xOy中，已知菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点B在y轴正半轴上，OA边在直线y＝x上，AB边在直线y＝－x＋上．

(1)根据题意，直接写出菱形顶点，O、A、B、C的坐标，以及边长和∠AOC的度数；

(2)在OB上有一动点P，以O为圆心，OP为半径画弧MN，分别交OA、OC于点M、N(M、N可以与A、C重合)，作⊙Q与AB、BC、弧MN都相切．设⊙Q的半径为R，OP的长为y，求y与R之间的函数关系式；

(3)以O为圆心，OA为半径作扇形OAC，请问在菱形OABC中，除去扇形OAC后的剩余部分内，是否可以作出一个圆，使所得的圆是以扇形OAC为侧面的圆锥的底面，若存在，求出这个圆的面积；若不存在说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)O、A、B、C坐标依次为(0，0)，(，)，(0，)，(，)…(4分) 　　∠AOC＝60°……………………………………(5分) 　　∴AO＝……………………(6分) 　　(2)设⊙Q与AB相切于D连接QD，则QD＝QP＝R………………(7分) 　　又QD⊥AB，∠ABQ＝30° 　　∴BQ＝2R，∴OB＝OP＋PQ－BQ＝y＋R＋2R……………………(9分) 　　即　∴………………(10分) 　　(3)∵OA＝1，∠AOC＝60° 　　∴弧AC的长为……………………(10分) 　　而此时⊙Q的半径 　　………………(11分) 　　设⊙M符合条件，其半径为r，则⊙M周长＝弧AC的长＝ 　　∴，r＝……………………(13分) 　　∵，∴⊙M必在⊙Q内………………(14分) 　　故能作一个圆，使这个圆是扇形OAC为侧面的圆锥的底面，它的面积为： 　　………………(16分)