Question

【题目】如图，平面直角坐标系xOy中，直线AC分别交坐标轴于A，C（8，0）两点，AB∥x轴，B（6，4）．

（1）求过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+4的表达式；
（2）点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，同时点Q从A点出发以相同的速度沿线段AB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，四边形BCPQ为平行四边形；
（3）若点M为直线AC上方的抛物线上一动点，当点M运动到什么位置时，△AMC的面积最大？求出此时M点的坐标和△AMC的最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，

∵过B（6，4），C（8，0）两点的抛物线y=ax2+bx+4．

∴ ，

解得 ．

∴过B、C三点的抛物线的表达式为y=﹣ x2+ x+4

（2）

解：如图2，

由题可得：BQ=6﹣t，CP=t．

当BQ∥CP且BQ=CP时，四边形BCPQ为平行四边形．

∴6﹣t=t．

解得：t=3．

（3）

解：过点M作x轴的垂线，交AC于点N，如图3，

设直线AC的解析式为y=kx+4，

则有8k+4=0．

解得：k=﹣ ．

∴直线AC的解析式为y=﹣ x+4．

设点M的横坐标为m，

则有yM=﹣ m2+ m+4，yN=﹣ m+4．

∴MN=yM﹣yN

=（﹣ m2+ m+4）﹣（﹣ m+4）

=﹣ m2+2m．

∴S△AMC=S△AMN+S△CMN

= MNOC

= ×（﹣ m2+2m）×8

=﹣m2+8m

=﹣（m﹣4）2+16．（0＜m＜8）

∵﹣1＜0，

∴当m=4时，S△AMC取到最大值，最大值为16，此时点M的坐标为（4，6）．

【解析】（1）用待定系数法就可求出过B，C三点的抛物线的表达式．（2）若四边形BCPQ为平行四边形，则有BQ=CP，从而建立关于t的方程，就可求出t的值．（3）过点M作x轴的垂线，交AC于点N，设点M的横坐标为m，由S△AMC=S△AMN+S△CMN= MNOC可以得到S△AMC=﹣（m﹣4）2+16．然后利用二次函数的最值性就可解决问题