Question

【题目】小明在某次作业中得到如下结果：

，

，

，

，

．

据此，小明猜想：对于任意锐角，均有．

（Ⅰ）当时，验证是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立?若成立，若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）成立，证明见解析；（Ⅱ）成立，证明见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）成立，当时，将30°与60°的正弦值代入计算即可得证；

（Ⅱ）成立，如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，正确地表示这两个角的正弦并利用勾股定理即可得证.

试题解析：（Ⅰ）当时， =sin230°+sin 260°= = =1，所以成立；

（Ⅱ）小明的猜想成立.证明如下：

如图，△ABC中，∠C=90°，设∠A=α，则∠B=90°-α，

sin2α+sin 2（90°-α）= =1