Question

如图1，点E是矩形ABCD边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE
（1）如图1，若折痕AE=5

5

，tan∠FEC=

4

3

，求线段FC的长．
（2）如图2，连接AC与BF交于点M，AE与BF交于点G，延长CG交AB于点N，连接MN，求证：∠BNG=∠AMG．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）连接BF，过点F作FH⊥BC于H，先由正切函数的定义设FH=4k，则EH=3k，由勾股定理，得EF=5k，由折叠的性质得EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE，再根据勾股定理的逆定理得出∠BFC=90°，然后由两角对应相等的两三角形相似证明△FHC∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得到

FC

AE

=

HC

BE

，即可求出FC的长；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明△BEG∽△AEB，得出

BE

AE

=

GE

BE

，由BE=CE，得到

CE

AE

=

GE

CE

，又∠CEG=∠AEC，则△CEG∽△AEC，则∠CGE=∠ACE=∠AGN，再根据等角的余角相等得出∠MAB=∠NGB，又∠ABM=∠GBN，则△ABM∽△GBN，即可得出∠BNG=∠AMG．

解答：解：（1）如图1，连接BF，过点F作FH⊥BC于H，则∠FHE=∠FHC=90°．
∵tan∠FEC=

4

3

，
∴设FH=4k，则EH=3k，
在Rt△HEF中，由勾股定理，得EF=5k．
∵点E是矩形ABCD边BC的中点，将△ABE沿AE翻折得△AFE，
∴EC=BE=EF=5k，CH=2k，BF⊥AE．
在Rt△HCF中，由勾股定理，得FC²=FH²+HC²=16k²+4k²=20k²，
在Rt△HBF中，由勾股定理，得FB²=FH²+BH²=16k²+64k²=80k²，
∵BC²=100k²，
∴FC²+FB²=BC²，
∴∠BFC=90°，CF⊥BF，
∵BF⊥AE，
∴CF∥AE，
∴∠FCH=∠AEB，
又∵∠FHC=∠ABE，
∴△FHC∽△ABE，
∴

FC

AE

=

HC

BE

，即

FC

5 5

=

2k

5k

，
∴FC=2

5

；

（2）证明：如图2，由（1）知BF⊥AE，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠ABE=90°，
又∵∠BEG=∠AEB，
∴△BEG∽△AEB，
∴

BE

AE

=

GE

BE

，
∵BE=CE，
∴

CE

AE

=

GE

CE

，
又∵∠CEG=∠AEC，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠CGE=∠ACE=∠AGN．
∵∠ACE+∠MAB=90°，∠AGN+∠NGB=90°，
∴∠MAB=∠NGB，
又∵∠ABM=∠GBN，
∴△ABM∽△GBN，
∴∠BMA=∠BNG，
即∠BNG=∠AMG．

点评：本题考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，折叠的性质，平行线的判定与性质，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，余角的性质等知识，综合性较强，难度较大．准确作出辅助线是解题的关键．