题目内容
已知矩形OABC的顶点O(0,0)、A(4,0)、B(4,3).动点P从O出发,以每秒1个单位的速度,沿射线OB方向运动.设运动时间为t秒.
(1)求P点的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图,以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2,且边PQ⊥y轴.设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S,当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时,运动停止.
①当t<4时,求S与t之间的函数关系式;
②当t>4时,设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E,问:是否存在这样的t,使得△PDE为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
(1)求P点的坐标(用含t的代数式表示);
(2)如图,以P为一顶点的正方形PQMN的边长为2,且边PQ⊥y轴.设正方形PQMN与矩形OABC的公共部分面积为S,当正方形PQMN与矩形OABC无公共部分时,运动停止.
①当t<4时,求S与t之间的函数关系式;
②当t>4时,设直线MQ、MN分别交矩形OABC的边BC、AB于D、E,问:是否存在这样的t,使得△PDE为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.
考点:相似形综合题
专题:压轴题
分析:(1)设PN与x轴交于点D,先由矩形的性质得出∠OAB=90°,在Rt△OAB中运用勾股定理求出OB=5,再由PD∥AB,得到△OPD∽△OBA,根据相似三角形对应边成比例得出
=
=
,求得OD=
,PD=
,即可确定P点的坐标;
(2)①分三种情况进行讨论:(i)当0<t≤
时,设PQ与y轴交于点E,则S=S矩形ODPE=OD•PD;(ii)当
<t≤
时,设PN与x轴交于点D,QM与x轴交于点F,则S=S矩形PQFD=PQ•PD;(iii)当
<t<4时,S=S正方形PQMN;
②分三种情况进行讨论:(i)当4<t≤5时,根据三角形外角的性质得出∠DPE>∠DBE=90°,则△PDE不可能为直角三角形;(ii)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90°,此时,△PDE为直角三角形;(iii)当t>5时,由于∠DPE<∠DBE=90°,则当△PDE为直角三角形时,可能∠PDE=90°或者∠PED=90°.若∠PDE=90°,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可;若∠PED=90°,则△PNE∽△EMD,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可.
OD |
OA |
PD |
AB |
OP |
OB |
4t |
5 |
3t |
5 |
(2)①分三种情况进行讨论:(i)当0<t≤
5 |
2 |
5 |
2 |
10 |
3 |
10 |
3 |
②分三种情况进行讨论:(i)当4<t≤5时,根据三角形外角的性质得出∠DPE>∠DBE=90°,则△PDE不可能为直角三角形;(ii)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90°,此时,△PDE为直角三角形;(iii)当t>5时,由于∠DPE<∠DBE=90°,则当△PDE为直角三角形时,可能∠PDE=90°或者∠PED=90°.若∠PDE=90°,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可;若∠PED=90°,则△PNE∽△EMD,根据两角对应相等的两三角形相似得出△PQD∽△DME,得出PQ:DQ=DM:ME,列出关于t的方程,解方程即可.
解答:解:(1)设PN与x轴交于点D,如图1.
∵矩形OABC中,OA=4,AB=3,∠OAB=90°,
∴OB=
=5.
∵PD∥AB,
∴△OPD∽△OBA,
∴
=
=
,
=
=
,
∴OD=
,PD=
,
∴P点的坐标为(
,
);
(2)①分三种情况:
(i)当0<t≤
时,如图1,设PQ与y轴交于点E,则S=S矩形ODPE.
由(1)知OD=
,PD=
,
∴S=OD•PD=
•
=
t2;
(ii)当
<t≤
时,如图2,设PN与x轴交于点D,QM与x轴交于点F,则S=S矩形PQFD.
∵PQ=2,PD=
,
∴S=PQ•PD=2•
=
t;
(iii)当
<t<4时,如图3,S=S正方形PQMN=2×2=4;
综上所述,当t<4时,求S与t之间的函数关系式为S=
;
②由题意,知t<5+2
.如图5,分三种情况:
(i)当4<t≤5时,
∵∠DPE>∠DBE=90°,
∴△PDE不可能为直角三角形;
(ii)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90°,此时,△PDE为直角三角形;
(iii)当t>5时,
∵∠DPE<∠DBE=90°,
∴当△PDE为直角三角形时,可能∠PDE=90°或者∠PED=90°.
若∠PDE=90°,则△PQD∽△DME,
∴PQ:DQ=DM:ME,即2:(
t-3)=(5-
t):(6-
t),
整理,得9t2-160t+675=0,
解得t=
,
∵t<5+2
,
∴t=
;
若∠PED=90°,则△PNE∽△EMD,
∴PN:NE=EM:MD,即2:(
t-4)=(6-
t):(5-
t),
整理,得8t2-115t+425=0,
∵△=1152-4×8×425=-375<0,
∴t无实数根,
综上所述,所有符合条件的t的值为t=5或t=
.
∵矩形OABC中,OA=4,AB=3,∠OAB=90°,
∴OB=
OA2+AB2 |
∵PD∥AB,
∴△OPD∽△OBA,
∴
OD |
OA |
PD |
AB |
OP |
OB |
OD |
4 |
PD |
3 |
t |
5 |
∴OD=
4t |
5 |
3t |
5 |
∴P点的坐标为(
4t |
5 |
3t |
5 |
(2)①分三种情况:
(i)当0<t≤
5 |
2 |
由(1)知OD=
4t |
5 |
3t |
5 |
∴S=OD•PD=
4t |
5 |
3t |
5 |
12 |
25 |
(ii)当
5 |
2 |
10 |
3 |
∵PQ=2,PD=
3t |
5 |
∴S=PQ•PD=2•
3t |
5 |
6 |
5 |
(iii)当
10 |
3 |
综上所述,当t<4时,求S与t之间的函数关系式为S=
|
②由题意,知t<5+2
2 |
(i)当4<t≤5时,
∵∠DPE>∠DBE=90°,
∴△PDE不可能为直角三角形;
(ii)当t=5时,∠DPE=∠DBE=90°,此时,△PDE为直角三角形;
(iii)当t>5时,
∵∠DPE<∠DBE=90°,
∴当△PDE为直角三角形时,可能∠PDE=90°或者∠PED=90°.
若∠PDE=90°,则△PQD∽△DME,
∴PQ:DQ=DM:ME,即2:(
3 |
5 |
3 |
5 |
4 |
5 |
整理,得9t2-160t+675=0,
解得t=
80±5
| ||
9 |
∵t<5+2
2 |
∴t=
80-5
| ||
9 |
若∠PED=90°,则△PNE∽△EMD,
∴PN:NE=EM:MD,即2:(
4 |
5 |
4 |
5 |
3 |
5 |
整理,得8t2-115t+425=0,
∵△=1152-4×8×425=-375<0,
∴t无实数根,
综上所述,所有符合条件的t的值为t=5或t=
80-5
| ||
9 |
点评:本题是关于动点问题的相似形综合题,其中涉及到矩形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质,图形的面积等知识,综合性较强,难度较大.在解决动点问题时,采用数形结合及分类讨论的数学思想,能使问题形象直观,从而有助于解题.
练习册系列答案
相关题目
一次数学考试,七年一班45人的分数和为a,七年二班47人的分数和为b,则这次考试两个班的平均分为( )
A、
| ||||||
B、
| ||||||
C、
| ||||||
D、
|
若代数式
在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
2x-4 |
A、x≥2 | ||
B、x>2 | ||
C、x≠2 | ||
D、x≥
|