Question

【题目】如图，矩形中，相交于点O，过点B作交于点F，交于点M，过点D作交于点E，交于点N，连接．则下列结论：

①；②；

③；④当时，四边形是菱形．

其中，正确结论的个数是（ ）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．

∵BF⊥AC

∴∠BMC=90°

又∵

∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC

∴∠DNA=∠BMC=90°

∵四边形ABCD为矩形

∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB

∴∠ADB=∠CBD

∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM

在△AND与△CMB

∵

∴△AND≌△CMB(AAS)

∴AN=CM，DN=BM，故①正确．

∵AB∥CD

∴∠NAE=∠MCF

又∵∠DNA=∠BMC=90°

∴∠ANE=∠CMF=90°

在△ANE与△CMF中

∵

∴△ANE≌△CMF（ASA）

∴NE=FM，AE=CF，故③正确．

在△NFM与△MEN中

∵

∴△NFM≌△MEN（SAS）

∴∠FNM=∠EMN

∴NF∥EM，故②正确．

∵AE=CF

∴DC-FC=AB-AE，即DF=EB

又根据矩形性质可知DF∥EB

∴四边形DEBF为平行四边

根据矩形性质可知OD=AO，

当AO=AD时，即三角形DAO为等边三角形

∴∠ADO=60°

又∵DN⊥AC

根据三线合一可知∠NDO=30°

又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°

故DE=EB

∴四边形DEBF为菱形，故④正确．

故①②③④正确

故选D．