Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过A（-5，0），两点，连接AB，BO．

（1）求抛物线表达式；

（2）点C是第三象限内的一个动点，若△AOC与△AOB全等，请直接写出点C坐标______；

（3）若点D从点O出发沿线段OA向点A作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点H从点A出发沿线段AO向点O作匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当点H到达点O时，点D也同时停止运动）．过点D作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长DE到点F，使得EF=DE，以DF为边，在DF左侧作等边三角形DGF（当点D运动时，点G、点F也随之运动）．过点H作x轴的垂线，与直线AB交于点L，延长HL到点M，使得LM=HL，以HM为边，在HM的右侧作等边三角形HMN（当点H运动时，点M、点N也随之运动）．当点D运动t秒时，△DGF有一条边所在直线恰好过△HMN的重心，直接写出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）1或．

【解析】

（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；

（2）先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，当与全等，如图1，分两种情况：由对称性可得点的坐标；

（3）分两种情况：

①当直线经过的重心时，如图2，先根据特殊的三角函数值计算，根据，列方程，可得的值；②当直线经过的重心时，如图3，根据平行线分线段成比例定理可得结论．

解：（1）把，，两点代入抛物线中得：

，

解得：，

；

（2）如图1，，，，

，，，

，

是直角三角形，且，

当与全等，如图1，分两种情况：

①在轴的上方，由对称得：，；

②在轴的下方，同理得：，，，；

综上，点的坐标是，或，或，；

（3）分两种情况：

①当直线经过的重心时，如图2，

连接，

，且是等边三角形，

在上，

由题意得：，，

由（2）知：，，

，

，

中，，，

，

轴，轴，

，

四边形是矩形，

是重心，

，

，

，

解得：；

②当直线经过的重心时，如图3，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

综上，的值是或．

故答案为：或．