题目内容
【题目】定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得y＝x2，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边．
（1）“若等边三角形为平方三角形，则面积为
是 命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是 命题；（填“真”或“假”）
（2）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值；
（3）如图，在△ABC中，D是BC上一点．
①若∠CAD＝∠B，CD＝1，求证，△ABC是平方三角形；
②若∠C＝90°，BD＝1，AC＝m，CD＝n，求tan∠DAB．（用含m，n的代数式表示）
【答案】（1）真，假；（2）c的长为4或1+
；(3)①见解析；②tan∠DAB＝
【解析】
（1）①根据平方三角形的定义，求出等边三角形的边长即可判断．②分两种情形分别判断即可．
（2）为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，分两种情形：如图1中，①当c＝a2时．②如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．求出AB即可．
（3）①证明△CAD∽△CBA，利用相似三角形的性质即可解决问题．
②如图4中，作DH⊥AB于H．利用相似三角形的性质求出DH，AH即可解决问题．
解：（1）∵等边三角形为平方三角形，
∴根据平方三角形的定义可知：等边三角形的边长为1，
∴等边三角形的面积＝
，
∴①是真命题．
当直角三角形中，30°所对的直角边为2时，斜边为4，满足平方三角形的定义，
当直角三角形中，和30°相邻的直角边是2时，不是平方三角形，
故②是假命题，
故答案为真，假．
（2）因为a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a＝2，三角形中存在一个角为60°，
只有∠B或∠C＝60°，∠A不可能为60°，不妨设∠B＝60°，BC＝2，
如图1中，①当c＝a2时，∵a＝2，
∴c＝22＝4．
如图2中，当b＝a2＝4时，作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵∠B＝60°，∠CHB＝90°，BC＝2，
∴BH＝
BC＝1，CH＝
BH＝，
在Rt△ACH中，AH＝
＝，
∴c＝AB＝BH+AH＝1+，
综上所述，c的长为4或1+．
（3）①如图3中，
∵∠C＝∠C，∠CAD＝∠B，
∴△CAD∽△CBA，
∴
＝
，
∴AC2＝CDCB，
∵CD＝1，
∴AC2＝BC，
∴△ABC是平方三角形．
②如图4中，作DH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝m，BC＝CD+BD＝1+n，
∴AB＝
，
∵DH⊥AB，
∴∠DHB＝90°，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠C＝90°，
∴△BHD∽△BCA，
∴
，
∴
，
∴DH＝
，BH＝
，
∴AH＝﹣，
∴tan∠DAB＝
＝
＝．
