已知:在平面直角坐标系中.有一矩形OABC.点B的坐标为.点B关于过点C的直线l1的对称点E落在OA边上.直线l1交AB于点F．(1)请求直线l1的解析式,(2)现把直线l1向下平移a个单位长度.得到直线l2．设直线l2交射线FA于点M.交x轴于点N.设△MAN的面积为S.请求S与a之间的函数关系式．(请直接写出相应的自变量a的取值范围),问的基础上.请问a为何� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知：在平面直角坐标系中，有一矩形OABC，点B的坐标为（10，8），点B关于过点C的直线l₁的对称点E落在OA边上，直线l₁交AB于点F．
（1）请求直线l₁的解析式；
（2）现把直线l₁向下平移a（0≤a≤8）个单位长度，得到直线l₂．设直线l₂交射线FA于点M，交x轴于点N，设△MAN的面积为S，请求S与a之间的函数关系式．（请直接写出相应的自变量a的取值范围）；
（3）在（2）问的基础上，请问a为何值时，△MEF为等腰三角形．

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）连接CE，EF．先由轴对称的性质得出CE=CB=10，EF=BF，在Rt△COE中，由勾股定理求出OE=6，则AE=4，在Rt△AEF中，设AF=x，则EF=BF=8-x，由勾股定理得出（8-x）²=4²+x²，解方程求得x=3，得到F（10，3），然后设直线l₁的解析式为y=kx+b，将C、F两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线l₁的解析式；
（2）先由直线“上加下减”的平移规律得到直线l₂的解析式为：y=-

x+8-a，再分别求出点M、N的坐标，得到AM=a-3，AN=2a-6，然后利用三角形的面积公式即可求出S=

AN•AM=a²-6a+9；
（3）当△MEF为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①ME=MF；②FM=FE；③EM=EF．

解答：

解：（1）如图1．连接CE，EF．
∵点B与点E关于过点C的直线l₁对称，
∴CE=CB=10，EF=BF．
在Rt△COE中，∵∠COE=90°，CE=10，OC=8，
∴OE=

CE2-OC2

=6，
∴AE=OA-OE=10-6=4．
在Rt△AEF中，∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²，
设AF=x，则EF=BF=8-x，
∴（8-x）²=4²+x²，
解得x=3，
∴F（10，3）．
设直线l₁的解析式为y=kx+b，
∵C（0，8），F（10，3），
∴

b=8

10k+b=3

，解得

k=-

b=8

，

∴直线l₁的解析式为：y=-

x+8；

（2）如图2．∵把直线l₁：y=-

x+8向下平移a（0≤a≤8）个单位长度，得到直线l₂，
∴直线l₂的解析式为：y=-

x+8-a，
当x=10时，y=3-a，即M（10，3-a），∴AM=a-3，
当y=0时，x=16-2a，即N（16-2a，0），∴AN=OA-ON=10-（16-2a）=2a-6，
∴S=

AN•AM=

（2a-6）（a-3）=a²-6a+9，
∵AM≠0，∴a-3≠0，∴a≠3，

∴S=a²-6a+9（0≤a≤8，a≠3）；

（3）如图3．∵F（10，3），M（10，3-a），E（6，0），
∴FM=3-（3-a）=a，EF=5，EM²=（10-6）²+（3-a）²=16+（3-a）²．
当△MEF为等腰三角形时，分三种情况：
①如果ME=MF，那么16+（3-a）²=a²，
解得a=

；
②如果FM=FE，那么a²=25，
解得a=±5（负值舍去）；
③如果EM=EF，那么16+（3-a）²=25，
解得a=6或0，a=0不合题意舍去．
综上所述，a为

或5或6时，△MEF为等腰三角形．

点评：本题是一次函数的综合题，其中涉及到轴对称的性质，勾股定理，运用待定系数法求一次函数的解析式，直线平移的规律，三角形的面积，等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论、方程思想是解题的关键．