题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°
(1)作边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AE,求证:AE=2DE.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
试题(1)根据作线段垂直平分线方法作出图形即可;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,根据直角三角形两锐角互余可得∠CAB=60°,由线段垂直平分线的性质可得AE=BE,即可得∠BAE=∠B=30°,所以∠CAE=60°﹣30°=30°,在Rt△ACE中,根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=2CE,再由角平分线的性质得出CE=DE即可得结论.
试题解析: 解:(1)如图所示;
(2)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠CAB=60°.
∵边AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,
∴AE=BE,
∴∠BAE=∠B=30°,
∴∠CAE=60°﹣30°=30°,
∴AE=2CE.
∵∠BAE=∠CAE=30°,
∴AE是∠BAC的平分线,
∴CE=DE,
∴AE=2DE.
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