Question

（以下两小题选做一题，第1小题满分14分，第2小题满分为10分．若两小题都做，以第1小题计分）
选做第______小题．
（1）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①如图，将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标；
②在①中，设BD与CE的交点为P，若点P，B在抛物线y=x²+bx+c上，求b，c的值；
③若将纸片沿直线l对折，点B落在坐标轴上的点F处，l与BF的交点为Q，若点Q在②的抛物线上，求l的解析式．
（2）一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．
①求直线AC的解析式；
②若M为AC与BO的交点，点M在抛物线y=-

8

5

x²+kx上，求k的值；
③将纸片沿CE对折，点B落在x轴上的点D处，试判断点D是否在②的抛物线上，并说明理由．

Answer 1

（1）①根据题意知，CD=CB=OA=5
∵∠COD=90°
∴CD=

CD2-OC2

=3
∴D点坐标为（3，0）
②过P作PG⊥x轴于G

据题知，PG=

1

2

AB=2，DG=

1

2

AD=1
∴P点坐标（4，2）
∵点P，B在抛物线y=x²+bx+c上
∴b=-7，c=14
③当点F在x轴上时，过Q作QM⊥x轴于M

同②可知QM=

1

2

AB=2，则Q点的纵坐标为2
得x²-7x+14=2
∴x=3或x=4
∴Q点的坐标为（3，2）或（4，2）
当Q点坐标为（3，2）时，如图，OM=3，MA=2，FA=4
AB=4
FA=AB，而l为BF的中垂线
∴点A在l上
∴l的解析式为y=-x+5．
当Q点坐标为（4，2）时，如图，OM=4，MA=1，OF=3，CF=5，而CB=5；
∴CF=CB
∵l为BF的中垂线
∴点C在l上．
∴l的解析式为y=-

1

2

x+4．
当点F在y轴上时，可求得Q（

5

2

，

11

4

），l与y轴的交点为（0，

31

4

）
∴l的解析式为y=-2x+

31

4

综上所述，l的解析式为y=-x+5或y=-

1

2

x+4或y=-2x+

31

4

．
（2）①∵OA=5，OC=4，
∴A（5，0），C（0，4）；
∴直线AC的解析式为y=-

4

5

x+4．
②可知：M点坐标为（

5

2

，2）．
由题设知：-

8

5

（

5

2

）²+k•

5

2

=2．
∴k=

24

5

③∵CD=BC=OA=5，OC=4，∠COD=90°
∴OD=3，即D（3，0）．
当x=3时，y=-

8

5

×3²+

24

5

×3=0
∴点D在抛物线上．