Question

如图，不重合的A（2，n）、B（n，2）两点在y=

n+4

x

（x＞0）反比例函数的图象上，BC垂直于y轴于点C．
（1）求n的值；
（2）判断△ABC的形状；
（3）若存在点P（m，0），使△PAB是直角三角形，求出满足条件的所有m的值．

Answer 1

（1）把A（2，n）代入y=

n+4

x

（x＞0）得：2n=n+4，
解得：n=4；

（2）△ABC为等腰直角三角形，理由为：
过A作AE⊥x轴，交BC于点D，
由（1）可知：A（2，4），B（4，2），
∵BC⊥y轴于点C，
∴点C（0，2），
∴CD=BD=AD=DE=2，
∴△ACD与△ABD都为等腰直角三角形，
∴∠CAD=∠BAD=45°，即∠CAB=90°，
∵AC=AB=2

2

，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（3）连接BE，
∵AD=DE=BD=2，BD⊥AE，
∴△ABD与△BDE都为等腰直角三角形，即∠ABD=∠EBD=45°，
∴∠ABE=90°，AB=BE=2

2

，
则当P与E重合时，△PAB为直角三角形，此时P坐标为（2，0）；
延长AC与x轴交于点P，连接PB，此时∠PAB=90°，△PAB为直角三角形，
设直线AC解析式为y=kx+b，
将A与C坐标代入得：

2k+b=4 b=2

，
解得：

k=1 b=2

，
∴直线AC解析式为y=x+2，
令y=0，求得：x=-2，即P（-2，0），
综上，m的值为2或-2．