Question

如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且OB=3

3

．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）∵∠ABO=90°，OB=3

3

，∠AOB=30°，
∴tan30°=

AB

3 3

，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐标是（3，3

3

），
设过A的双曲线的解析式是y=

k

x

，
把A的坐标代入得：k=9

3

，
∴双曲线的解析式是y=

9 3

x

．

（2）∵∠AOA′=90°-30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面积是：

60π×62

360

=6π，
∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3

3

，
∴sin45°=

DC

3 3

，
∴DC=OD=

3 6

2

，
∴△ODC的面积是：

1

2

×OD×DC=

1

2

×

3 6

2

×

3 6

2

=

27

4

，
∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积，
∴阴影部分的面积是6π-

27

4

．