题目内容

如图,有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3
3

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).
(1)∵∠ABO=90°,OB=3
3
,∠AOB=30°,
∴tan30°=
AB
3
3

∴AB=3,
∴OA=2AB=6,
∴A的坐标是(3,3
3
),
设过A的双曲线的解析式是y=
k
x

把A的坐标代入得:k=9
3

∴双曲线的解析式是y=
9
3
x


(2)∵∠AOA′=90°-30°=60°,OA=6,
∴扇形AOA′的面积是:
60π×62
360
=6π,
∵△DOC是等腰直角三角形,OC=3
3

∴sin45°=
DC
3
3

∴DC=OD=
3
6
2

∴△ODC的面积是:
1
2
×OD×DC=
1
2
×
3
6
2
×
3
6
2
=
27
4

∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积,
∴阴影部分的面积是6π-
27
4
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