题目内容
如图,有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等,把该套三角板放置在平面直角坐标系中,且OB=3
.
(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).
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(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A,求双曲线的解析式;
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后,斜边OA恰好与x轴重叠,点A落在点A′,试求图中阴影部分的面积(结果保留π).
(1)∵∠ABO=90°,OB=3
,∠AOB=30°,
∴tan30°=
,
∴AB=3,
∴OA=2AB=6,
∴A的坐标是(3,3
),
设过A的双曲线的解析式是y=
,
把A的坐标代入得:k=9
,
∴双曲线的解析式是y=
.
(2)∵∠AOA′=90°-30°=60°,OA=6,
∴扇形AOA′的面积是:
=6π,
∵△DOC是等腰直角三角形,OC=3
,
∴sin45°=
,
∴DC=OD=
,
∴△ODC的面积是:
×OD×DC=
×
×
=
,
∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积,
∴阴影部分的面积是6π-
.
3 |
∴tan30°=
AB | ||
3
|
∴AB=3,
∴OA=2AB=6,
∴A的坐标是(3,3
3 |
设过A的双曲线的解析式是y=
k |
x |
把A的坐标代入得:k=9
3 |
∴双曲线的解析式是y=
9
| ||
x |
(2)∵∠AOA′=90°-30°=60°,OA=6,
∴扇形AOA′的面积是:
60π×62 |
360 |
∵△DOC是等腰直角三角形,OC=3
3 |
∴sin45°=
DC | ||
3
|
∴DC=OD=
3
| ||
2 |
∴△ODC的面积是:
1 |
2 |
1 |
2 |
3
| ||
2 |
3
| ||
2 |
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∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积,
∴阴影部分的面积是6π-
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