题目内容

【题目】如图,△ABC中,AB=AC,点DBC上一点,且AD=DC,过ABD三点作⊙OAE⊙O的直径,连结DE

1)求证:AC⊙O的切线;

2)若sinC=AC=6,求⊙O的直径.

【答案】(1)详见解析;(2⊙O的直径为

【解析】试题分析:(1)根据等腰三角形的性质,由AB=ACAD=DC∠C=∠B∠1=∠C,则∠1=∠B,根据圆周角定理得∠E=∠B∠ADE=90°,所以∠1+∠EAD=90°,然后根据切线的判定定理即可得到AC⊙O的切线;

2)过点DDF⊥AC于点F,如图,根据等腰三角形的性质得CF=AC=3,在Rt△CDF中,利用正弦定义得sinC==,则设DF=4xDC=5x,利用勾股定理得CF=3x,所以3x=3,解得x=1,于是得到DC=AD=5,然后证明△ADE∽△DFC,再利用相似比可计算AE即可.

试题解析:(1∵AB=ACAD=DC

∴∠C=∠B∠1=∠C

∴∠1=∠B

∵∠E=∠B

∴∠1=∠E

∵AE⊙O的直径,

∴∠ADE=90°

∴∠E+∠EAD=90°

∴∠1+∠EAD=90°,即∠EAC=90°

∴AE⊥AC

∴AC⊙O的切线;

2)过点DDF⊥AC于点F,如图,

∵DA=DC

∴CF=AC=3

Rt△CDF中,∵sinC==

DF=4xDC=5x

∴CF==3x

∴3x=3,解得x=1

∴DC=5

∴AD=5

∵∠ADE=∠DFC=90°∠E=∠C

∴△ADE∽△DFC

,即,解得AE=

⊙O的直径为

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