题目内容

如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且顶点在直线x=上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A、B、O的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,连接BD,已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小,求出P点的坐标;
(4)在(2)、(3)的条件下,若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连接PM、PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S和t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,说明理由.

(1) .(2)是,理由见解析;(3)().(4)当时,S取最大值是.此时,点M的坐标为(0,).

解析试题分析:(1)根据抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),以及顶点在直线x=上,得出b,c即可;
(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时,y的值即可.
(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式,当x=时,求出y即可;
(4)利用MN∥BD,得出△OMN∽△OBD,进而得出,得到ON=t,进而表示出△PMN的面积,利用二次函数最值求出即可.
试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点B(0,4),∴c=4.
∵顶点在直线x=上,∴,解得.
∴所求函数关系式为.
(2)C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),
当x=5时,
当x=2时,.
∴点C和点D都在所求抛物线上.
(3)设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,
,解得,.∴直线CD对应的函数关系式为
当x=时,.∴P().
(4) (0<t<4).

∴当时,S取最大值是.此时,点M的坐标为(0,).
考点:二次函数综合题.

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