题目内容
【题目】在平面直角坐标系,直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于 D,
(1)直接写直线y=2x+2与坐标轴所围成的图形的面积
(2)以AD为边作正方形ABCD,连接AD,P是线段BD上(不与B,D重合)的一点,在BD上截取PG=,过G作GF垂直BD,交BC于F,连接AP.
问:AP与PF有怎样的数量关系和位置关系?并说明理由;
(3)在(2)中的正方形中,若∠PAG=45°,试判断线段PD,PG,BG之间有何关系,并说明理由.
【答案】(1)1;(2)AP=PF且AP⊥PF,理由见解析;(3)PD2+BG2=PG2,理由见解析
【解析】
(1)先根据一次函数解析式求出A,D的坐标,根据三角形的面积公式即可求解;
(2)过点A作AH⊥DB,先计算出AD=,根据正方形的性质得到BD=
,AH=DH=
BD=
,由PG=
,得到DP+BG=
,则PH=BG,可证得Rt△APH≌Rt△PFG,即可得到AP=PF且AP⊥PF;
(3)把△AGB绕点A点逆时针旋转90°得到△AMD,可得∠MDA=∠ABG=45°,DM=BG, ∠MAD=∠BAG,AM=AG,则∠MDP=90°,根据勾股定理有DP2+BG2=PM2,由∠PAG=45°,可得∠DAP+∠BAG=45°,即∠MAP=45°,易证得△AMP≌△AGP,得到MP=PG,即可DP2+BG2=PM2.
(1)∵直线y=2x+2交x轴于A,交y轴于 D,
令x=0,解得y=2,∴D(0,2)
令y=0,解得x=-1,∴A(-1,0)
∴AO=1,DO=2,
∴直线y=2x+2与坐标轴所围成的图形△AOD=×1×2=1;
(2)AP=PF且AP⊥PF,理由如下:
过点A作AH⊥DB,如图,
∵A(-1,0),D(0,2)
∴AD==
=AB,
∵四边形ABCD是正方形
∴BD==
,
∴AH=DH=BD=
,
而PG=,
∴DP+BG=,
而DH=DP+PH=
∴PH=BG,
∵∠GBF=45°
∴BG=GF=HP
∴Rt△APH≌Rt△PFG,
∴AP=PF, ∠PAH=∠PFG
∴∠APH+∠GPF=90°即AP⊥PF;
(3)PD2+BG2=PG2,理由如下:
如图,把△AGB绕点A点逆时针旋转90°得到△AMD,连接MP,
∴∠MDA=∠ABG=45°,DM=BG, ∠MAD=∠BAG,AM=AG,
∴∠MDP=90°,
∴DP2+BG2=PM2,
又∵∠PAG=45°,
∴∠DAP+∠BAG=45°,
∴∠MAD+∠DAP =45°,即∠MAP=45°,
而AM=AG,
∴△AMP≌△AGP,
∴MP=PG,
∴PD2+BG2=PG2
