题目内容

【题目】【问题提出】

如图①,已知ABC是等腰三角形,点E在线段AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,将BCE绕点C顺时针旋转60°ACF连接EF

试证明:AB=DB+AF

【类比探究】

(1)如图②,如果点E在线段AB的延长线上,其他条件不变,线段AB,DB,AF之间又有怎样的数量关系?请说明理由

(2)如果点E在线段BA的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整,并写出AB,DB,AF之间的数量关系,不必说明理由.

【答案】证明见解析;(1)AB=BD﹣AF;(2)AF=AB+BD.

【解析】试题分析:(1)根据旋转的性质得出△EDBFEA全等的条件BE=AF,再结合已知条件和旋转的性质推出∠D=∠AEF∠EBD=∠EAF=120°,得出△EDB≌FEA,所以BD=AF,等量代换即可得出结论.(2)先画出图形证明∴△DEB≌△EFA,方法类似于(1);(3)画出图形根据图形直接写出结论即可.

试题解析:(1)证明:DE=CE=CF△BCE

由旋转60°△ACF

∴∠ECF=60°BE=AFCE=CF

∴△CEF是等边三角形,

∴EF=CE

∴DE=EF∠CAF=∠BAC=60°

∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°

∵∠DBE=120°

∴∠EAF=∠DBE

∵AECF四点共圆,

∴∠AEF=∠ACF

∵ED=DC

∴∠D=∠BCE∠BCE=∠ACF

∴∠D=∠AEF

∴△EDB≌FEA

∴BD=AFAB=AE+BF

∴AB=BD+AF

类比探究(1DE=CE=CF△BCE由旋转60°△ACF

∴∠ECF=60°BE=AFCE=CF

∴△CEF是等边三角形,

∴EF=CE

∴DE=EF∠EFC=∠BAC=60°

∠EFC=∠FGC+∠FCG∠BAC=∠FGC+∠FEA

∴∠FCG=∠FEA

∠FCG=∠EAD

∠D=∠EAD

∴∠D=∠FEA

由旋转知∠CBE=∠CAF=120°

∴∠DBE=∠FAE=60°

∴△DEB≌△EFA

∴BD=AEEB=AF

∴BD=FA+AB

AB=BD-AF

2AF=BD+AB(或AB=AF-BD

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